Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: 1. Density of harmonic functions; 2. smoothing of singular pts

В процессе размышлений над одной задачкой возникли следующие темы:


1. Чему равно замыкание множества гармонических функций? В каких пространствах/топологиях оно будет всюду плотно (если вообще)? Как ответить на подобные вопросы, если мы заменим оператор Лапласа на любой другой линейный или нелинейный дифференциальный оператор. В случае нелинейного оператора можно ставить вопрос о замыкании линейной оболочки (собственно, у меня как раз такой оператор).

Пояснения: для размерности 1, y''=0 имеет решениями только линейные функции, которые не всюду плотны в любом наперед заданном линейном топологическом пространстве. Для размерности 2 и выше, сразу ничего в голову не приходит

2. Если нам дана почти всюду дифференцируемая функция F(t) (липшицева, абсолютно непрерывная, монотонная, ограниченной вариации), можно ли найти такую функцию гомеоморфизм G(u):R--->R, чтобы композиция H(t)=G(F(t)) была всюду дифференцируемой.

Пример: F(t)=|t| - не имеет производной в нуле, но если взять композицию с G(u)=u^2 G(u)=u^3, то композиция H(t)=|t|^3 дифференцируема везде. Недавно где-то я читал по поводу общего случая, но не могу вспомнить в каком точно месте.

Update:

По сути дела, если обозначить множество несуществования производной функции F(t) через C, то задача будет решена, если мы найдем всюду дифференцируемый гомеоморфизм G(u) со свойством, что на C производная G'(u) равна нулю.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments