Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Categories:

Matematicheskoe: Differentiation in vector spaces and pseudotopologies

Вчерашнее мое вечернее чтение было посвящено теории дифференцирования в общих линейных пространствах.

Любопытная тема. Оказывается, топологических пространств недостаточно для построения удовлетворительной теории. Проблема в том, что если рассматривать пространство линейных отображений L(E,F) одно линейного топологического пространства E в другое F, то оказывается не всегда есть разумная топология на L(E,F), для которой будут выполнены естественные свойства дифференцирования.

Например, отображение вычисления (evaluation map):

e:L(E,F) x E ---->F, где e(f,x)=f(x) не обязано быть непрерывным вне зависимости, какую топологию мы определяем на L(E,F).

Это известный факт, например, если E,F - пространства Фреше, то L(E,F) гарантированно не является пространством Фреше, и введение нужной топологии - очень непростое дело, и в общем случае, как оказывается, нерешаемое.

Но если мы рассмотрим так называемые линейные псевдотопологии, многое восстанавливается. Псевдотопологии определяются через сходимость по фильтрам, согласованную с линейной структурой, и не обязаны быть топологиями, хотя для пространств вида L(E,F) и C(E,F) (соответственно линейные и непрерывные отображения из E в F) естественны именно псевдо-топологии.

Таким образом, обобщалово по существу, и рассмотрение более общих структур не просто желание повыпендриваться, а естественная попытка работать с L(E,F).

А теперь про собственно дифференцирование: для то, чтобы его определить, нам надо задать класс "малых" отображений в C(E,F), малых относительно данной псевдо-топологии, тогда f:E--->F дифференцируема в точке a, если существует линейное отображение l:E--->F со свойством

f(a+h)-f(a)-l(h)=r(a,h) - малое отображение, при h стремящемся к нулю в топологии E. Знаем, что такое малые отображение - можем говорить о дифференцируемости.

Штука, правда, в том, что хотя через этот псевдотопологический подход можно доказать обобщенную теорему о среднем, теорему о дифференцировании композиции дифференцируемых функций и многое другое, но нет теоремы об обратной функции, а значит, теоремы о неявной функции, а тем более аналога теории Нэша-Мозера, что меня собственно и интересует. Впрочем, книжка 1970 года, надо будет поискать, что было сделано после.

Ключевые имена:

Bastiani A., Binz E., Keller H.H., Fisher H.R., Wehrli M., Michal A.D., Marinesku G., Sova M., Frolicher A., Bucher W., Сухинин М.Ф., Авербух В.И., Смолянов О.Г.

Все это взято из книжки:

Frolicher A., Bucher W. Calculus in vector spaces without norm, 1966, Springer, (в русском переводе 1970г, с замечаниями Авербух В.И., Смолянов О.Г.)
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments