Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: О сложности функций

Меня давно интересует вопрос о сложности функций.

А именно, можно ли дать разумное определение сложности функциий, так, чтобы можно было сравнивать, какая функция простая, а какая сложная?

Например, что сложнее sin(x) или x^2, exp(x) и sqrt(x), log(x) или tan(x). Вся прелесть в том, что мы можем попросту взять за аксиому, что, скажем, sin(x) сложнее, чем любой полином, но менее сложен, чем sin(x^2). Кстати, последнее отвечает некоторым интуитивным представлениям...

Но если мы хотим развивать теорию сложности, то одна из идей - получить интересные приложения данной теории сложности.

Например, в теории интегралов Лебега простые функции - кусочно постоянные функции. И оказывается, что поскольку любую положительную функцию можно равномерно приблизить последовательностью простых, это дает возможность определить интеграл Лебега, поскольку его определение для простых функций интуитивно единственно. А интеграл Лебега, это, знаете-ли, одно из самых полезных понятий всей математики.

Другое приложение: теория представимости функций от нескольких переменных посредством суперпозиций функций меньшего числа переменных. Соответствующая проблема Гильберта, решение Колмогорова-Арнольда, результаты Витушкина и его последователей, колмогоровские поперечники и т.д.

О чем речь: функция от двух переменных интуитивно сложнее, чем функция одной. Ага, скажете вы: сравни f(x,y)=x+y и g(x)=sin(1/exp(-1/x^2)). Что сложнее? Да, действительно, и результат Колмогорова: любая непрерывная функция на N-мерном кубе представима в виде суперпозиции сложения и функций одной переменной. А, значит, есть очень сложные функции одной переменной.

Так вот, меня интересуют такие приложения: изучать "сложные" функции через представления через суперпозиции в больших размерностях. Более конкретно: вот есть у нас полином p(t) степени не выше N, и есть два полинома, меньшей степени q(t) и r(t) степени не выше M, и есть полином от двух переменных Q(x,y) степени не выше K. Теперь рассмотрим суперпозицию Q(q(t),r(t)) - полином степени не выше M*K, и пусть Q(q(t),r(t))=p(t), ясно, что M,K могут быть сильно меньше чем их произведение M*K=N. Таким образом, полиномы высоких степеней могут теоретически изучаться путем изучения суперпозиций полиномов меньшей степени. Сложность функции никуда не исчезает, но она раскладывается на простейшие составляющие, которые изучаются отдельно. Подчеркну, пока это всего лишь философия - если придумаю содержательный пример, обязательно расскажу.

В связи с этим сходная задача о представлении функции одной переменной, как следа функции двух (и более) переменных на некотором классе кривых(параметризаций).

Пример: зададим на плоскости некоторый класс непрерывных функций двух переменных, и рассмотрим множество всех окружностей на плоскости. Ограничение функций двух переменных на окружности будет функцией на S^1. Вопросы: при каких условиях на класс, мы получим все периодические функции. В частности: есть ли универсальная функция двух переменных, со свойством, что варьируя окружность, можно получить любую периодическую функцию путем ограничения на некоторую окружность. Ясно, что задач подобных этой можно придумать очень много, и я пишу об этом не в последний раз.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments