Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Compactness and change of topology

Продолжаем разговор.



Прежде всего напомню, что дополнения к открытым множествам называются замкнутыми. Таким образом, тем более у нас открытых множеств, тем более замкнутых, и наоборот.

Отдельной букой в топологии и анализе стоит понятие компактности. С точки зрения аналитика, это возможно самое важное понятие и приложение топологии.

Формулируется оно обычно в двух мистически-эквивалентных определениях. Первое: пространство компактно, если из всякого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и второе: всякое бесконечное множество имеет точку сгущения. Оказывается, что для Хаусдорфовых пространств эти два определения эквивалентны!

В чем прелесть компактности, а в том, что можно построить обьект(решение) с необходимыми свойствами путем попросту предъявления некоторого бесконечного множества со свойством, что всякая его предельная точка обладает интересующем нас свойством. Если мы можем утверждать, что все компактно, мы автоматически получаем приз в качестве существования объекта-решения.

Предел по топологии как правило очень сильная операция. Достаточно сказать, что любая непрерывная функция является пределом последовательности бесконечно дифференцируемых многочленов. Другими словами: все свойства непрерывных функций, которые сохраняются при данном конкретном переходе к пределу (завязанному на топологию) можно получить через свойства многочленов!

Хорошо! Хорошо, да не очень, практика показывает, что задача для многочленов вовсе не обязана быть проще. Простой пример: нули любой целой функции аппроксимируются по теореме Гурвица нулями его отрезков степенного ряда, так что, в прицнипе, знание информации о нулях всех многочленов дало бы информацию о нулях всех целых функций и в качестве "мелкого" приложения решение Гипотезы Римана. В реальности же этот подход не проще: и наши знания о нулях ограничены лишь многочленами четвертой степени. Забавно, что большинство математиков на полном серьезе считает, что вопрос неинтересен, поскольку де было доказано, что нули многочленов степени более пятой не выражаются в радикалах, и на этом вопрос закрыт. Ну неважно, я что-то отвлекся.

Так вот, компактность, формулируемая через покрытия, ведет к таким рассуждениям: если у нас две топологии, одна из которых тоньше второй, а именно: всякое открытое множество в первой открыто и во второй, но не наоборот. По-житейски это означает, что в первой топологии открытых множеств больше, чем во второй, а раз больше множеств, то больше и покрытий, а значит, если во второй топологии нечто было компактным, то в первой оно запросто перестает быть таковым.

Держим в голове простой пример: C1[a,b] и C[a,b] и последовательность {Sin(nt)/n}, которая сходится (равномерно) к нулю как последовательность непрерывных, но производные расходятся. Другими словами, сходящиеся последовательности в C[a,b] не обязаны сходится в C1[a,b], а значит, и компактные множества не сохраняются!

И тут мы имеем такое противоречие с практическими нуждами: мы всегда хотим получить хорошее решение, в самой тонкой топологии. Но, засада, компактность при "утончении" топологии исчезает!

Я сейчас имею в голове такую схему: дана топология, интересующее нас множество некомпактно, начинаем огрублять топологию до появления компактности! (для тех, кто в танке, держите в голове weak* topology и теорему Банаха-Алаоглу о weak*-компактности шара в пространстве непрерывных функционалов на нормированном пространстве X). Двигаем топологию, пока не получаем компактность, смотрим что получилось как пределы(точки сгущения). Далее в PDE вступает в свои права теория регулярности, но об этом как-нибудь в другой раз. Фишка в том, что, скажем, в Навье-Стокса у нас есть доказательство существования решения, но нет регулярности. Пока нет?

Таким образом, варьируя(огрубляя) топологию мы получим компактные дела вместо некомпактных. Наибольший интерес, это "максимальная" компактность в том или ином смысле. Но об этом опять таки как нибудь в другой раз.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments