Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Topologies on a set and its generation

Запишу ка пару полу-тривиальных мыслей насчет общей топологии.


Собственно все крутится вокруг философской идеи решать задачи путем выбора соответствующей топологии (метрики, нормы).

На одном и том же множестве X можно ввести много различных топологий, строго говоря ординальное число таких топологий exp(exp(X)) (кстати надо подумать о доказательстве этого факта), где |X| мошность бесконечного множества X.

Есть очень естественный способ введения подобных топологий, а именно слабые топологии порожденные некоторым множеством функций. А именно, если нам уже дано топологическое пространство Y (например, просто действительные числа со стандартной топологией), и некоторое семейство функций fa:X--->Y, a in J - any index set, поскольку нам известно, что означают открытые множества в Y, то мы попросту рассматриваем прообразы открытых множеств в Y относительно всех функций fa. Эти множества составляют предбазу нашей слабой топологии, определяемую путем семейства функций {fa, a in J} (предбаза означает попросту что мы берем любые конечные пересечения и любые объединения элементов предбазы - получаем топологию - семейство выделенных(открытых) подмножеств X, замкнутое относительно конечных пересечений и любых объединений). Подобная слабая топология имеет простую интерпретацию: последовательность элементов xi из X сходится к некоторому xlim, если и только если последовательность fa(xi) сходится к fa(xlim) в Y для любого a in J.

Название "слабая топология" взято поскольку стандартный пример подобной топологии есть обычная (weak) топология на нормированном пространстве X, порожденная семейством всех линейных непрерывных функционалов на X.

Но вся прелесть в том, что мы можем брать и другие семейства функций, и получать топологии с конкретными свойствами, что все определяющие топологию функции будут непрерывными!

Возникают несколько естественных вопросов, развернутого ответа на которые нет в стандартных изложениях (собственно говоря, да и сам метод, в том виде, как я его описал выше, обычно не излагается). Прежде всего, можно ли таким макаром получить все топологии на множестве X? Ответ, как будто бы да: если мы имеем конкретную топологию на X, то мы может определить множество непрерывных функций C(X,Y) для любого топологического пространства Y. Если мы возьмем объединение всех неперерывных функций при варьировании образа Y, то очевидно, что соответствующая "слабая топология" будет совпадать с исходной. Далее, попробуем задать вопрос: а что если мы ограничим образы Y, будет ли по прежнему исходная топология восстановима посредством слабой? Ответ на этот вопрос я очень хотел бы получить как можно в общем виде. Делаю зарубку на будущий поиск в этом направлении.

Например, все ли топологии на X восстановимы путем выбора подсемейства C(X,R), то есть всякая ли топология на X равна некоторой слабой топологии, и если нет, то можно ли дать простое описание "восстановимых"?

Попутный вопрос: эквивалентность. Легко видеть, что мы можем задать конкретную слабую топологию путем лишь подмножества семейства непрерывных функций. Простой пример: для стандартной топологии на R, достаточно всего лишь, чтобы всякий интервал (a,b) был представим как прообраз при отображении. Возьмем множество всех линейных функций на R вида y=m*x+b, и слабая топология будет эквивалентна стандартной. (Впрочем, это тавтология, так как на образе мы подразумеваем стандартную топологию, то достаточно рассмотреть тождественную функцию y=x. Пример более интересен, если мы работаем с нестандартными топологиями на R.)

В связи с этим возникает тема описания классов "эквивалентности", и "наименьших" представлений конкретной топологии. Наименьших в каком-то разумном смысле, требующем отдельного определения.

В общем, вещи, на мой взгляд, преинтереснейшие, но почему-то не получаюшие должного внимания в университетах, хотя ничего суперсложного в них нет.

Да, зачастую не имеет смысл рассматривать все топологии на бесконечном множестве, это слишком много. Интерес обычно представляют Хаусдорфовы топологии, которые определяются единственностью предела, то есть одна и та же последовательность не может иметь два предела (но может иметь много точек сгущения). Все поставленные вопросы можно переограничить только Хаусдорфовыми топологиями.

Можно идти даже дальше и интересоваться только метризуемыми (это не совсем правильно, поскольку стандартная линейно-функциональная слабая топология гильбертова пространства неметризуема), только компактными, локально-компактными и т.д., и т.п.

Второй способ индуцирования топологий заключается во вложении множества X в некоторое уже имеющееся топологическое пространство, и ограничение топологии на подпространство, варьируя объемлющее пространство(вложение) и его топологию получаем разные индуцированные. Но этот метод, кажется, еще менее популярен в смысле его систематического изучения.

Update:
MR1304340 (96e:54031)
Ciesielski, Krzysztof(1-WV)
Topologizing different classes of real functions. (English. English summary)
Canad. J. Math. 46 (1994), no. 6, 1188--1207.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments