Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: теорема Хана-Банаха для операторов

Задумался, а есть ли аналоги теоремы Хана-Банаха о продолжение линейных операторов A:Y--->Z с подпространства Y на все пространство X.

Update:

Как говорится, сам спросил, самому и отвечать. Короче, почитал я вот этот небольшой обзор:

Buskes, Gerard The Hahn-Banach theorem surveyed. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 327 (1993), 49 pp. (Reviewer: W. A. J. Luxemburg)

Самой простой и естественный подход к обобщению Хана-Банаха состоит в том, что саму теорему можно интерпретировать как утверждение, что в категории нормированных пространств и морфизмов как линейных отображений, пространство действительных чисел является инъективным объектом, инъективность - это в точности теорема о продолжении. Таким образом, вопрос: какие нормированные пространства являются инъективными. Ответ: такие, в которых выполнено так называемое binary intersection property, а именно, если у нас имеется коллекция шаров из пространства, которые попарно пересекаются, то общее пересечение всех шаров непусто. Действительные числа удовлетворяют этому свойству, комплексные нет. Для банаховых пространств есть критерий, что пространство инъективно, если в любом его расширении существует проекция расширения с нормой не большей единицы, то есть for any Z, with X \subset Z, there exists P:Z--->X, s.t. P2=P, ||P||L(Z)<=1. В частности, пространство ограниченных последовательностей m удовлетворяет подобному свойству, а значит обобщение Хана-Банаха справедливо (для данного случая возможно прямое доказательство, путем покоординатного применения Хана-Банаха).

Второй вариант обобщения: проективные объекты категории, другими словами, когда требование не на образ линейного отображения, а на само пространство, а образ линейного отображения может быть любым. Тут характеризация еще проще: проективные объекты либо двумерны, либо являются гильбертовыми пространствами.

Конечно, между ними должно быть куча других, но это надо рыть поглубже.

Конкретный мой вопрос: расширение оператора дифференцирования, скажем, на непрерывные или интегрируемые функции, надо прикинуть, как применить, в данном случае проективность: выбрать гильбертово пространство, и подпространство, на котором дифференцирование будет непрерывным.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments