Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Lions' lemma

В различных разделах математики есть очень хорошие технические мульки, которые частенько малоизвестны.

Одну из них я на днях обнаружил. Интересно для любителей теорем вложения и интерполяционных пространств.


Напомню, что пространство Y вложимо в X, если Y подмножество Х, и X-норма на Y "меньше", чем Y-норма на том же Y. Что имеется ввиду, пример: Y=C1[a,b]; X=C[a,b]. Первое является подмножеством второго, и главное на первом мы имеем две нормы: индуцированную из X(которая слабее), и "родную" (которая сильнее, "тоньше"). Последовательность непрерывно-дифференцируемых функций может сходится к некоторой непрерывной, но последовательность производных вовсе не обязана быть сходяшейся. Простейший пример: Fn(t)=Sin(nt)/n, которая сходится к нулю, а производные нет. Но сходимость в норме C1[a,b] влечет сходимость в C[a,b], потому как мы имеем неравенство Norm(f,X)<=C*Norm(f,Y), для любого f из Y. Именно, последнее свойство и требуется в определение непрерывного вложения пространства: на Y из сходимости в норме Y должна следовать сходимость в норме X, или другими словами - ограниченные подмножества в Y ограничены и в X. Здесь упомяну понятие компактного вложения, когда ограниченные множества в Y компактны в X. В примере выше: если последовательность функций имеет равномерно ограниченную производную, то данная последовательность универсально-липшицева, и выполнен критерий Арзела-Асколи. То есть C1[a,b] компактно вложено в C[a,b].

Хочу заметить, что несмотря на то, что C1[a,b] и C[a,b] естественно определяются, они довольно бесполезны для тонких вопросов, и на практике в ODE и PDE используют пространства Соболева и еще более тонкие варианты (типа пространств Слободецкого и Бесова).

Так вот, предположим у нас три пространства Y,X,Z. С двумя условиями: Y компактно вложено в X, X непрерывно вложено в Z. Пример: Y=C^2[a,b],X=C^1[a,b],Z=C[a,b]. Заметьте, что нормы в больших пространствах меньше и индуцируют они более грубую топологию.

Справедлива лемма (Lions):

Для любого числа t>0, существует такое k(t)>0, что на самом меньшем пространстве Y мы можем оценить вторую ("среднюю") норму, через первую (самую тонкую), и третью (самую грубую), а именно для f in Y

||f||X < t*||f||Y + k(t)||f||Z

Заметим простую вещь, в силу вложения Y в X, мы имеем универсальную оценку на Y вида

||f||X<= C*||f||Y, то есть для t>C мы не имеем ничего нового (t>C, set k(t)=0). Весь цимес в том, когда t стремится к нулю.

Возьмем предыдущий пример Y=C^2[a,b],X=C^1[a,b],Z=C[a,b]: слева у нас стоит сумма модулей функции и производной - норма в C^1, справа же у нас с коэффицентом t стоит сумма фунцкии f, первой f' и второй производной f''(норма в C^2), с коэффициентом же k(t) у нас стоит просто функция f(норма в C[a,b]). Таким образом, лемма в данном конкретном случае просто иллюстрация того факта, что мы можем оценить первую производную функции через вторую со сколь угодно малым множителем и саму функцию:

|f'|< t*|f"|+k(t)*|f|.

Но, как оказывается, мы имеем подобный результат в самом общем случае, с очень простым доказательством от противного, и с использованием факта, что ограниченные последовательности в Y, прекомпактны в X.

Как я уже отметил, интерес в лемме исключительно в произвольных, но малых t, k(t) в этом случае будет стремится к бесконечности, при t к нулю.

Также, можно доказывать, что некоторое вложение Y в X не является компактным попросту путем предъявления нарушения данного неравенства.

Но самое главное, все очень общо: выбираем любую тройку пространств (Y,X,Z) с вышеописанными свойствами - получаем неравенство.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments