Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Characters and ultrafilters

Тут на классе FA рассматривали характеры (линейные мультипликативные функционалы) на m - пространстве ограниченных последовательностей.

Пара мыслей по поводу.

Рассмотрим известный результат: множество рациональных чисел Q счетно, а именно, их биективно можно отобразить на натуральные N.

Теперь рассмотрим множество непрерывных ограниченных функций на R - любая непрерывная функция полностью определяется своими значениями на Q - рациональных числах. Таким образом, при фиксированной биекции Q на N, имеем отображение из C(R) в m, которое, очевидно, линейно и изометрично.

Последовательности из m мы можем трактовать как ограниченные функции на натуральных числах.

Теперь естественные вопросы: существует очень много биекций между рациональными и натуральными, но все они обладают теми свойствами, что естественный порядок на Q превращается в нечто ужасное на N - порядковые типы чудовищно различны. Первый вопрос: определить "наилучшие" биекции, понятие "наилучшие" тоже требует определения по отношению к набору некоторых свойств. Очень грубо: на начальных отезках длины L, рассмотрим стандартный порядок на Q, и посчитаем количество элементов на начальном отрезке L при биекции, нарушающих порядок. Как максимум все элементы могут идти в убывающем порядке, то есть число нарушений L(L-1)/2. Возьмем биекцию, и попытаемся оценить асимптотику нарушения, при L, стремящемся к бесконечности. Скажу сразу, на мой взгляд, ни к чему толковому это дело не приведет, надо более тонкие подходы.

Вернемся к нашим баранам: при фиксированной биекции B:Q--->N, имеем изометричное линейное инъективное отображение FB: C(R)--->m. Вопрос: опредили образ отображения. То есть, при каких условиях на последовательность из m, она будет имиджем некоторой функции из C(R) при данной биекции B. Вариант: мы не фиксируем биекцию B, и пытаемся определить при каком условии на последовательность найдется подобная биекция.

Штука тут в том, что у непрерывной функции, если мы рассмотрим близкие рациональные точки, то и значения функции в них будут близки, но любая последовательность Коши in Q при любой биекции onto N уходит на бесконечность - все загоняется в бесконечность. Любая последовательность Коши - есть подпоследовательность на N, вдоль которой имеем сходимость.

Так вот, а вот здесь вылезают нетривиальные линейные мультипликативные функционалы на m. Само существование которых как будто бы использует аксимому выбора в континуальном варианте (а именно существование максимальные идеалов в Банаховой алгебре m). Напомню, что на m мы имеем покоординатное сложение, умножение и умножение на скаляры. Теперь нетривиальный характер строится следующим образом: рассмотрим подпоследовательность множества натуральных чисел, и выделим те елементы m, для которых вдоль этой подпоследовательности имеем сходимость к нулю. Легко проверить, что это будет идеалом в алгебре m, каждый идеал по лемме Цорна содержится в максимальном, а каждый максимальный идеал соответствует нетривиальному характеру на m. Из лекции осталось непонятным: всякий ли нетривиальный идеал получаем через некоторую подпоследовательность, но даже те, которые получаются, имеют интереснейшие свойства, а именно нетривиальный характер соответствует нетривиальному ультрафильтру на множестве натуральных чисел, а вдоль ультрафильтра можно определить предел функции на N, то есть последовательности из m.

Как это соотносится с моим отображением C(R) в m через биекции рациональных в натуральные, меня и интересует больше всего.

Множество всех нетривиальных характеров на m, взятых в звездочно слабой топологии сопряженного пространства к m, компактно и является компактификацией Стоуна-Чеха bN множества натуральных чисел N (а именно: натуральные числа N всюду плотны в компактификации bN, и любая непрерывная функция на натуральных, то есть элемент m, продолжаема до непрерывной на компактификации).

Меня в вышеупомянутом интересует во-первых: теоретическая возможность изучать множество (алгебру) непрерывных ограниченных функций C(R), через пространство m и хакрактеры/ультрафильтры. Что с этого можно поиметь трудно сказать, возможно, что и ничего, хотя кто знает.

Вторая же тема, это то, что аксиома выбора используется очень существенным образом, и мы начинаем работать с множеством объектов очень странной природы, почти контринтуитивных: всякий нетривиальных характер порожадет неизмеримую по Лебегу функцию, по сути дела, в данном аспекте мы смотрим через призму странных объектов, неизмеримых функций, причем все здесь по существу.

И третий момент: это нетривиальные топологии на таком знакомом и "простом" объекте как натуральные числа имеют немалый смысл.

Все вышеизложенное понятно, надеюсь :-)).

Update:
Любопытно, что задание непрерывной функции своими значениями на множестве всех рациональных чисел избыточно: достаточно задания на некотором всюду плотном подмножестве рациональных, например на множестве диадических дробей (знаменатели которых степени двойки). И вообще задавать можно на любом счетном всюду плотном множестве. В связи с этим меня с "детства" занимала задача "минимального" всюду плотного множества. Само понятие "минимального" требует формализации, и нетривиально. Вариант минимальности: если у нас имеется потное всюду счетное множество прямой, то выбросив конечное множество, мы не нарушаем всюду плотности. А как насчет выбрасывания бесконечного? Вопрос, существует ли такое счетное всюду плотное множество in R, со свойством, что если мы выбросим любое бесконечное множество, оно перестает быть всюду плотным? (Для R ответ тривиальный, нет : всегда можно выбросить дискретное бесконечное множество, а вот что, если пространство компактно, типа [0,1]?) Если такое множество существует, можно ли его определить без серьезного привлечения аксиомы выбора(мой ответ - вряд-ли). Если такого множества нет, то опишите топологии на R, в которых минимальное всюду плотное множество существует? Те же самые вопросы для любого другого сепарабельного пространства. Наибольший интерес на пространства функций C[0,1], C(R).

Вот где можно покрутиться славно, подозреваю, что надо будет использовать ультрафильтры of N и подобную муть.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 14 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…