Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Метод пертурбации решения нелинейных уравнений.

Запишу еще одну фичу из того, что полезно знать свойства операторов в окрестности некоторого фиксированного линейного оператора.



Конкретно, предположим мы решаем нелинейное ODE, задача Коши в абстрактном (например, Банаховом) пространстве X, вида:

u'=F(u), u(0)=x, u(t):[0,k]--->X, u'(t):(0,k]--->Y, F:X-->Y

Фискрируем некоторое z in X и рассмотрим производную Фреше DF(z):X--->Y. Это какой-то линейный оператор. Поскольку F известна, известна и производная Фреше. Проблема в том, что сама по себе эта производная не обзана иметь слишком уж хороших свойств, например быть секториальным(что означает порождать аналитическую полугруппу).

Теперь предположим, что у нас есть теория разрешимости линейных (полулинейных) неоднородных ODE вида:

v'=Av+g(t,v), v(0)=x, v(t):[0,k]--->X, v'(t):(0,k]--->Y, A:X--->Y, g(t,*):X-->Y

А именно, нам известна разрешимость последнего уравнения при некоторых условиях на оператор A и возмущение g(t,v).

Теперь можно попытаться решить оригинальное нелинейное уравнение следующим образом:

Фиксируем z in X и функцию u(t):[0,k]--->X, u'(t):(0,k]--->Y, u(t) близко в норме X к елементу z и рассмотрим следующую вспомогательную линейную задачу:

v'=Av+{F(u)-Au}, v(0)=x, v(t):[0,k]--->X, v'(t):(0,k]--->Y, A:X--->Y

Предположим, что оператор A был выбран таким образом, что мы имеем разрешимость линейной задачи для любой u(t) близкой к z.

Теперь обозначим это решение как v(t)=T(u(t)). Получили оператор u--->Tu. Если мы сможем доказать, что этот оператор имеет неподвижную точку, например, что он является сжимающим отображением и отображает некоторое множество функций U в себя, то неподвижная точка будет решением исходного нелинейного уравнения.

Стандартный выбор для A: A=DF(z), тогда g(u)=F(u)-DF(z)u будет иметь Dg(z)=0, а значит g липшицева около z с константой меньшей единицы, из чего следует, что отображение T будет сжимающим. Но для последнего вовсе необязательно выбирать A производной!

Достаточно требовать, чтобы DF(y)-A имела малую норму in X около z. И можно поставить следующую задачу: по данным F(u) и z исследовать вопрос о существовании "хорошего" общего
приближения A для производной DF(y) в некоторой окрестности z. "Хорошего" в том смысле, что мы имеем хорошую линейную теорию для линейного неоднородного уравнения с оператором A. Например, как я уже отметил, если оператор A порождает аналитическую полугруппу (секториальность A достаточна), то он "хороший". Тогда можно сформулировать задачу нахождения (существовавния) секториального константного приближения производвной DF(y) в окрестниости z.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments