Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: Bochner integral and simultaneous "simplification" of operators

Пара простых вещей, из сегодняшнего урока функ-анализа. Запишу, чтобы не забыть. Во-первых, любой интеграл от Банахозначных (в пространстве X) функций можно вводить и интерпретировать через второе сопряженное X** по типу: для функции f:(R,m(dx))--->X, и любого непрерывного линейного функционала l:X-->R, рассмотрим композицию l(f):R-->R, и проинтегрируем ее по мере m(dx). Получили линейную функцию "Int(f)":X*--->R на сопряженном, то есть элемент второго сопряженного. Если же "Int(f)" представим элементом i(f) исходного пространства, то это и есть значение нашего интеграла от функции f. Это будет всегда верно, если пространство рефлексивно. Осталось только удостоверится, что "Int(f)" непрерывный функционал. Это не будет автоматически, но от этого можно плясать.

Более того, для любого Банахового пространства, имеем цепочку вложений: пространство во второе сопряженное, затем в четвертое, затем в шестое, и так далее. Если пространство нерефлексивно, то каждое включение строгое, то есть имеем цепь линейных пространств. Заметим, что четное высшее сопряженное можно рассматривать как элемент алгебраического сопряженного исходного пространства. Кстати, хороший вопрос, покрывает ли эта цепь whole algebraic dual? Но, в любом случае, возвращаясь к интегралу: "Int(f)" будет всегда линейным, но необязательно непрерывным функционалом на первом сопряженном, но, возможно, он непрерывен в третьем, пятом или каком-другом высшем сопряженном (имеется ввиду его расширение по теореме Хана-Банаха, впрочем, здесь пара тонких моментов, надо еще подумать). Тогда интеграл можно естественно интерпретировать как элемент некоторого высшего четного сопряженного.

Мне в вышеописанном нравится то, что высшие сопряженные появляются естественным путем, ибо меня с "детства" интересовала их релевантность.

Это первая тема, а вторая про приведение нескольких матриц к "каноническому" виду.

А именно, вот известен результат, что любая комплексная матрица A сопряжена (в общей линейной группе) своей жордановой форме J, что можно переформулировать так: существуют матрицы L,R, такие что LAR=J, где R=L-1. Если мы не требуем связи R и L, то J можно выбрать даже диагональной, а L,R - унитарными (похожий результат верен и для действительных матриц - singular value decomposition; and the same is true for any integral domain).

Теперь рассмотрим несколько матриц A1,...,Ar. Вопросы: что можно как максимум сказать о канонической форме этих матриц, если матрицы L,R должны быть теми же самыми для всех матриц списка. То есть первый вопрос: среди всех базисов, найти наиболее упрощаюший все A1,...,Ar одновременно. Тут поймать, по всех видимости, много не получится, поскольку лучший результат довольно корявый и для одной матрицы. Но вот разрешим левую L и правую R матрицы быть независимыми, что можно поиметь на этом направлении?
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments