Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Matematicheskoe: Discontinuous functions of two variables

Вчера перед сном читал Гелбаума-Олмстеда "Контрпримеры в анализе". Что запомнилось: возьмем кривые Пеано, которые отображают отезок на квадрат(n-мерный куб), и рассмотрим ее координатные функции - непрерывные, и с прелюбопытнейшим свойствами. Например, всякое значение они принимают несчетное число раз. А теперь возьмем их композицию с сингулярной функцией Кантора - совсем ужас получается, бисово отродье. А ведь все непрерывно донельзя!

Потом примеры с разрывными функциями двух переменных... Тут у меня мысля насчет того, что вот рассмотрим пространство X и его квадрат X^2, и будем смотреть функции, из покоординатной непрерывности которых следует непрерывность в совокупности, то есть из x--->F(x,y) и y-->F(x,y) непрерывны, следует (x,y)--->F(x,y) непрерывна.

Для X=R со стандартной топологией есть куча контрпримеров, и я о них скажу пару слов. Но вот вопрос: можно ли выбрать топологию на X, так чтобы свойство совокупной непрерывности следовало из покоординатной. Ясно, что в дискретной топологии все будет чики-пуки, но дискретные топологии - это моветон. Хочется чего-то благообразного.

Ну это все мечты, а насчет известных примеров в случае евклидовой плоскости:
F(x,y)= q(x)y/(q(x)^2+y^2), где Lim q(x)= 0 когда х--->0

Теперь на кривой y=q(x), F(x,q(x))=1/2. А вот если p(х) стремится к нулю медленнее, чем q(х), а именно:
Lim q(x)/p(x) = Lim r(x)--->0, то тогда мы имеем вдоль кривой y=p(х)
F(x,p)= pq/(p^2+q^2)=r/(1+r^2) ---->0 при х --->0!

Теперь выберем нашу любимую функцию q(x)=exp(-1/x^2), доопределим F(0,0)=0 и имеем интереснейшую картину: вдоль любой степенной кривой, идущей в ноль, y=x^a, функция F непрерывна, а на самом деле разрывна. Забавно, да.

Мне с этого примера всегда было не по себе в том смысле, что я плохо понимал, что же все-таки происходит в нуле: смотрите, мы имеем вдоль гигантского количества направлений ноль, но функция не непрерывна! Причем легко видеть, что пример может быть усложнен сколько угодно далеко, и мы покрываем все большее и больше количество кривых, но функция все равно разрывна. Можно подумать о следующем объекте, который состоит из множества всех гладких (кусочно-гладких) кривых, идущих в ноль. Для непрерывных функций предел вдоль любого направления одинаков, а вот для разрывных начинается интересное. Можно размышлять в терминах бесконечного blow-up, когда точка заменяется гигантским пространством кривых. Что из этого можно поиметь, остается крайне неясным, тем не менее меня эта конструкция почему-то завораживает.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment