Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Изменение топологии

Задумался я о топологиях. Как известно, формально топологии это специальные семейства подмножеств, позволяющие определять понятие предела, сходимости и прочих прелестей анализа. На множестве всех топологий данного пространства есть естественный частичный порядок.

Под более сильной(более слабой топологией) я везде понимаю топологию в которой соответственно больше(меньше) открытых, а следовательно, и замкнутых множеств.

Так вот, стандартным способом работы в анализе является: задать топологию, и решать задачи. Например, зададим топологию равномерной сходимости на пространстве непрерывных на отрезке функций и докажем теорему Вейерштрасса о том, что множество всех полиномов всюду плотно, то есть замыкание совпадает с множество непрерывных функций. Стандартно.

А если наоборот, зададимся вопросом: получить описание тех топологий пространства непрерывных функций, для которых множество полиномов всюду плотно? А из этого описания выдрать примеры топологий, "полезных" для приложений.

Например, можно ввести такое понятие: пусть нам дано топологическое пространство X и всюду плотное множество Y в нем. Задача: описать максимальные (по отношению естественного порядка, и такие, что стандартная топология была слабее) топологии, для которых это свойство всюду плотности будет сохраняться. Частный пример: непрерывные функции и полиномы - опишите все максимальные топологии.

Другой пример: компактность - опишите топологии, в которых данной подпространство Y компактно (в голове можно держать теорему Кондрашова для вложений пространства Соболева).

Схожие идеи: слабая топология на банаховом пространстве - это слабейшая топология, в которой все непрерывные функционалы из оригинальной топологии нормы остаются непрерывными. Также, единичный шар в дуальном пространстве будет компактным в звездочно-слабой топологии (теорема Алаоглу). Естественно спросить о более сильных топологиях, в которых свойство компактности все еше выполнено.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments