Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Reflexive Spaces

Поговорим немного о рефлексивных пространствах.

Предположим у нас есть Банахово пространство (X,Norm(.,X)), с его сопряженным X*, то есть множеством непрерывных(ограниченных) линейных функционалов на X. Сопряженное к сопряженному X**, это, значится, линейные функционалы на линейных функционалах. Легко видеть, что любое пространство X канонически и изометрически вкладывается в свое второе сопряженное. Последнее может быть сильно больше X, но для некоторых пространств мы имеем равенство X=X**. В этих случаях пространство X называется рефлексивным, таковыми, в частности, являются все Гильбертовы пространства; пространства суммирумых в p-той степени функции, для p>1; пространства Соболева H2.

Какие же критерии рефлексивности известны.

Например: пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар B(0;1) компактен в слабой топологии(weak topology); тогда и только тогда, когда рефлексивно его сопряженное; тогда и только тогда, когда каждый линейный функционал достигает своей нормы на единичном шаре (Теорема Джеймса).

Вот с этого момента поподробнее. Другими словами, если мы знаем сопряженное пространство, то доказав, что любой линейный функционал достигает своей нормы, мы можем показать, что пространство рефлексивно, без непосредственного вычисления второго сопряженного. Оказывается, есть следствие этой теоремы, что любой компактный оператор K:X-->Y достигает своей нормы на единичном шаре. Последнее означает просто то, что функция sup{ Norm(K(x),Y), Norm(x,X)<=1}=Norm(K(a),Y) для некоторого a, Norm(a,X)=1. Заметим, что нетривиальной вещью здесь является некомпактность единичного шара в бесконечномерном случае, а следовательно не каждая функция достигает своего супремума. Так вот, сам по себе результат очень интересен в том смысле, что для рефлексивного пространства X, любого Банахова пространства Y, и любого компактного оператора K:X-->Y, мы имеем автоматическое достижение нормы. Кроме того, если мы сможем найти такие Y,K, что K не достигает своей нормы на единичом шаре X, то пространство X будет нерефлексивно. Критерий несушествования.

Вместе с тем, если мы подозреваем рефлексивность, то нам желательно уменьшить обьем проверяемых операторов. Теорема Джеймса говорит о том, что достаточно рассмотреть только линейные функционалы. Естественен вопрос, можно ли ограничиться нетривиальным подмножеством сопряженного пространства? Надо подумать.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments