Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Matematicheskoe: Принцип сжимающих отображений (локальный вариант)

Принцип сжимающих отображений не может быть переоценен. У меня лично есть ощущение, что любой более менее интересный математический результат может быть доказан путем сведения к этому принципу. Отмечу, что само сведение - вещь, естественно, глубоко нетривиальная.

В силу вышесказанного я все время в поисках более сильной версии этого классического принципа. Напомню, что если для метрической тройки {M; d(.,.): M x M ---> R+ ; f:M--->M} ((M,d) - полное метрическое пространство) справедливо d(f(x),f(y)) < q*d(x,y), где 0< q < 1, то тогда отображение f имеет единственную неподвижную точку A такую, что f(A)=A.

Отмечу, что условие q-сжатия в оригинале должно быть выполнено для любых x,y. Первая мысль: а что, если оно выполнено для лишь "близких" x и y, то есть, когда d(x,y)< E, тогда d(f(x),f(y)) < q*d(x,y). Так вот, оказывается, что результат имеет место и для этого случая: если пространство M удовлетворяет условию E-цепи, а именно, если любые две точки можно соединить цепью "соседне-пересекающихся" шаров радиуса не больше, чем E. Так вот, если на каждом E-шаре функция f является q-сжатием, то f имеет единственную неподвижную точку.


An extension of Banach's contaction principle (JSTOR-access required)


Michael Edelstein
An extension of Banach's contaction principle
Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 12, No. 1. (Feb., 1961), pp. 7-10.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments