Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: теорема Лиувилля для гармонических функций - доказательство на пальцах.

Прочитал интересное доказательство теоремы Лиувилля для ограниченных целых гармонических функций.

А именно: целая ограниченная гармоническая функция является константой.

Доказательство: Бытие гармонической эквивалентно теореме о среднем, которая говорит, что значение гармонческой функции в любой точке равно среднему интегральному от этой функции по произвольному шару с центром в этой точке. Среднее интегральное - это интеграл от функции по шару, деленное на обьем шара. Так вот, собственно доказательство: возьмем две точки p и q и пусть расстояние между ними равно d. Теперь рассмотрим два очень больших шара одного и того же радиуса R, с центрами в этих точках. При R>>d, симметрическая разность этих двух шаров будет иметь обьем порядка d*R^{N-1}, где N - размерность пространства. Теперь смотрите, функция у нас ограничена константой M, и рассмотрим разность F(p)-F(q), она представим в качестве интеграла по симметрической разности этих двух шаров, что порядка M*d*R^{N-1}, деленной на обьем шара, что порядка R^N. Таким образом при R стремящемся в бесконечность, разность стремится к нулю, что и доказывает: F(p)=F(q) для любых двух точек.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 19 comments

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…