Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: self-similar sets

Кстати, преинтереснейшее приложение принципа сжимающих отображений.

Предположим, что на некотором полном метрическом пространстве (M,d) действуют N сжимающих операторов T_i:M->M, i=1,..,N; d(T_i(x),T_i(y))<=(k_i)*d(x,y), 0< k_i <1.

На этих условиях существует единственное подмножество X пространства M, такое что X=T_1(X)union T_2(X)union...T_N(X). Доказательство с помощью принципа сжимающих отображений в пространстве замкнутых ограниченных подмножеств M, оснащенным Хаусдорфовой метрикой.

Например, M=[0,1], T_1=(1/3)*x, T_2=(1/3)*x+2/3, тогда X будет знаменитым троичным канторовым множеством.

Update:
На самом деле в этом примере интересна общность этого результата: берем любое полное метрическое пространство и N любых сжатий - получаем единственное множество! Интересно, например, поставить вопрос о совокупности всех подобных множеств для фиксированного пространства, то есть обратную задачу.

Добавлю, что доказательство позволяет(принцип сжимающих отображений конструктивен) строить это самое множество, стартуя, скажем, со всего пространства.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 1 comment