Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Критические точки функций нескольких переменных 2

crossposted to ru_math

К предыдущему.


Собственно темой о функциях двух переменных с только максимумами я заинтересовался, готовясь к классу, посвященному нахождению экстремумов.

А именно, подбирая примеры для решения у доски, я наткнулся на упражнение со следующей функцией:

f(x,y)= -(x^2*y-x-1)^2 - (x^2-1)^2.

Предлагалось доказать, что эта функция имеет ровно два локальных(а в данном случае и глобальных) максимума без других критических точек.

Подсчет показывает, что мы имеем ровно две критические точки A=(1,2) и B=(-1,0). Гессиан в точке A

-26 -6
-6 -2

в точке B

-10 2
2 -2

То есть действительно имеем два локальных максимума: f(1,2)=f(-1,0)=0, которые являются даже глобальными максимумами!

Что интересно, что данный пример действительно несколько противоречит интуиции. В случае фунцкии одной переменной между двумя максимумами обязательно есть минимум. В многомерном случае, как мы видим, совершенно другая история.

Пример этот взят из статьи:

Counting Critical Points of Real Polynomials in Two Variables
Alan Durfee; Nathan Kronefeld; Heidi Munson; Jeff Roy; Ina Westby
The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 3. (Mar., 1993), pp. 255-271.

Для элктронного доступа нужна подписка на www.jstor.org.

Потом, как оказалось(ссылка найдена юзером sova), чуть позже были найдены примеры фунцкии

http://www.mtholyoke.edu/~adurfee/reu/92/reu92.htm

с ровно N-максимумами.

А именно, пусть
h(x)=(x-2)(x-4)...(x-2*(N-1))

g(x)=Int[(x-1)(x-2)(x-3)...(x-(2N-1))]

Тогда функция:

f(x,y)= -(y*h(x)*h(x) - 2x - 1)^2 - g(x)

имеет ровно N-максимумов и никаких других критических точек (Yan Robertson).

Любопытно, не так ли.

Ну и еще пару примеров из цитированных статей:

(A)
Фунцкия

F(x,y)=Exp[-x](x*Exp[-x] + Cos[y]) имеет бесконечное число локальных максимумов и никаких других критических точек. Геометрия этой функциии обсуждается на с.262 первой статьи.

(B)
Функция
G(x,y)=x^2(1+y)^3 + y^2 имеет единственную критическую точку в нуле, являющуюся локальным минимумом, но не абсолютным минимумом.


Возвращаясь к примерам с ровно N-локальными максимумами можно отметить, что они имееют форму:

f(x,y)=A(x)*y^2 + B(x)*y +C(x),

Другими словами, при фиксированном x мы имеем параболу, и склеивая эти параболы, можно получить необходимые примеры. Отметим, что у каждой параболы только одна точка является критической, при этом значение в этой критической точке зависит от x. Я думаю, можно поиграть в этом классе примеров, строя самые разнообразные конфигурации, оставаясь в множестве многочленов.

Что же касается общей задаче о функциях(многочленах) типа (M,N,S), то наиболее толковое предложение, как строить подобные примеры поступило от юзера ppetya вот здесь.

Отмечу, также, что одна из основных идей, предложенных также rsokolov, является "убирание" ненужных критических точек на бесконечность. Еще хочу отметить идею zanuda стартовать с функции одной переменной, и попытаться пошевелить ее, уничтожив "ненужные" экстремумы с помошью второй переменной и/или добавлением линейной функции, не меняющей Гессиан.

Вообще, я даже не ожидал такого хорошего разговора, и сам нехило заинтересовался предметом. В частности, сейчас составляю себе список для чтения по действительной алгебраической геометрии.

Кстати, замечу, что, по всей видимости, правильная компактификация в этих проблемах использует не сферу, а действительное проективное пространство RP^2[x;y;z]. При этой компактификации на бесконечности у многочлена появляются новые критические точки, связанные с поведением линии уровня в конечных точках. Интереснейшая область, однако!
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments