April 15th, 2019

Math: формула для вычисления длин кривых

В очень интересной статье

http://www.ams.org/journals/bull/1995-32-01/S0273-0979-1995-00571-9/S0273-0979-1995-00571-9.pdf

про "Как много корней случайного действительного полинома действительны" меня больше всего заинтересовало простое но изящное тождество.

А именно, если у нас дана вектор функция одного аргумента

v(t)=(A_1(t),..., A_n(t))

то оказывается есть очень простой и изящный путь посчитать евклидову норму ее производной, которая является интегрантом при вычислении длины кривой, задаваемой посредством v(t).

А именно, введем

K(x,y)=(v(x),v(y)). (здесь и далее скобки это станадартное скалярное произведение в n-мерном пространстве)

Тогда можно легко проверить, что

(Dv(t), Dv(t))=F(t,t)

где F(x,y)=D_xy (Ln(K(x,y))).

где D_xy это вторая смешанная частная производная функции двух скалярных переменных, а Dv(t) просто производная по t.

В чем прикол? А в том, что для многих вектор функций можно сначала упростить выражение для K(x,y), а потом уже дифференцировать.

Например, для
v(t)=(1,t,t^2,..., t^n)
K(x,y)= (v(x),v(y))=1+xy+(xy)^2+...+(xy)^n
есть геометрическая прогрессия.

Вообще там в статье много вкусного и интересного.

Кстати, знакомые с машинным обучением могут распознать в K(x,y) известный объект(воспроизводящее ядро).

список программ на новую систему?

Ориентировочно на этой неделе придет новый заказанный компьютер с предустановленной Win 10 (и c RTX-2060 видео карточкой - GPU!).

Вопрос: чего сейчас следует ставить на такую систему дополнительно из стандартных системных программ. Ну типа flash, direct-X, java, видео- и аудио кодеки? Что еще?
То есть то, что обязательно требуется какими-то продвинутыми программами или играми.
Может, где список подобного излагается.

интеллект дерева?

Задумался вдруг: а в чем состоит потенциальный интеллект дерева или травы. Другими словами, существование огромного дуба это работа по заранее расписанной программе(которую если сто раз запустить в одинаковых условиях даст одинаковый же результат), или все таки там есть начала интеллекта (то есть результат будет таки разным, для разных деревьев). Пример - дерево само "продумывает" возможность, что если его вкусные плоды будет есть фауна, то будут разноситься семена по округе и вдобавок удобряться пометом. Или это продумывание уже было заложено изначально, и просто нашло возможность реализоваться.