September 4th, 2005

теорема Ферма - элементарно!

Тут недавно проходила тема о элементарном "доказательстве" теоремы ферма одним омским "академиком". Забавность там была в том, что в отличие от многочисленных подобных доказательств, предлагаемое доказательство было настолько компактным, что каждый мог его прочитать и быстренько найти ляпы. Типа того, что человек полагает, что если произведение двух чисел и один из сомножителей целое, то и другой сомножитель целое, хотя он вполне может быть рациональным.

http://www.livejournal.com/users/mi_b/74614.html
http://www.annews.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=13907 ***
http://www.omsktime.ru/img_news/19078M.avi


Забавно, что публикация появилась аж в Новой газете (откуда я ее собственно и прочитал летом), и кстати там излагалось даже что-то другое. Собственно там было доказано, что если у нас x^2+y^2 есть квадрат целого, то x^n+y^n не может быть n-ой степенью целого, то есть утверждение бесконечно слабее теоремы Ферма. Однако это навело меня на кое какие мысли.

В частности, можно ли элементарно доказать, скажем, такой факт, что потенциальное решение теоремы Ферма (которого нет!) должно лежать во множестве "малой меры". Грубо говоря, если мы возьмем произвольную пару целых (x,y), то вероятность, что x^n+y^n=z^n равна нулю относительно некоторой меры (например асимптотической плотности). Или, скажем, если x^2+y^2 принадлежит некоторому множеству плотности единица, то это не есть решение теоремы Ферма. Можно заменить x^2+y^2 каким-то другим многочленом F(x,y) или даже семейством многочленов. Интерес в том, что решение должно быть элементарным, и справедливым для любого n.