November 17th, 2004

Matematicheskoe: Discontinuous functions of two variables

Вчера перед сном читал Гелбаума-Олмстеда "Контрпримеры в анализе". Что запомнилось: возьмем кривые Пеано, которые отображают отезок на квадрат(n-мерный куб), и рассмотрим ее координатные функции - непрерывные, и с прелюбопытнейшим свойствами. Например, всякое значение они принимают несчетное число раз. А теперь возьмем их композицию с сингулярной функцией Кантора - совсем ужас получается, бисово отродье. А ведь все непрерывно донельзя!

Потом примеры с разрывными функциями двух переменных... Тут у меня мысля насчет того, что вот рассмотрим пространство X и его квадрат X^2, и будем смотреть функции, из покоординатной непрерывности которых следует непрерывность в совокупности, то есть из x--->F(x,y) и y-->F(x,y) непрерывны, следует (x,y)--->F(x,y) непрерывна.

Для X=R со стандартной топологией есть куча контрпримеров, и я о них скажу пару слов. Но вот вопрос: можно ли выбрать топологию на X, так чтобы свойство совокупной непрерывности следовало из покоординатной. Ясно, что в дискретной топологии все будет чики-пуки, но дискретные топологии - это моветон. Хочется чего-то благообразного.

Ну это все мечты, а насчет известных примеров в случае евклидовой плоскости:
F(x,y)= q(x)y/(q(x)^2+y^2), где Lim q(x)= 0 когда х--->0

Теперь на кривой y=q(x), F(x,q(x))=1/2. А вот если p(х) стремится к нулю медленнее, чем q(х), а именно:
Lim q(x)/p(x) = Lim r(x)--->0, то тогда мы имеем вдоль кривой y=p(х)
F(x,p)= pq/(p^2+q^2)=r/(1+r^2) ---->0 при х --->0!

Теперь выберем нашу любимую функцию q(x)=exp(-1/x^2), доопределим F(0,0)=0 и имеем интереснейшую картину: вдоль любой степенной кривой, идущей в ноль, y=x^a, функция F непрерывна, а на самом деле разрывна. Забавно, да.

Мне с этого примера всегда было не по себе в том смысле, что я плохо понимал, что же все-таки происходит в нуле: смотрите, мы имеем вдоль гигантского количества направлений ноль, но функция не непрерывна! Причем легко видеть, что пример может быть усложнен сколько угодно далеко, и мы покрываем все большее и больше количество кривых, но функция все равно разрывна. Можно подумать о следующем объекте, который состоит из множества всех гладких (кусочно-гладких) кривых, идущих в ноль. Для непрерывных функций предел вдоль любого направления одинаков, а вот для разрывных начинается интересное. Можно размышлять в терминах бесконечного blow-up, когда точка заменяется гигантским пространством кривых. Что из этого можно поиметь, остается крайне неясным, тем не менее меня эта конструкция почему-то завораживает.

S-ka: Грибоучение (pavell), пиццу в бордель, Сев.Корея, реклама(попа/феминизм), затраты энергии

Пелевин

Хе-хе. А вы знаете, а я Пелевина не читал. То есть не только последнюю книгу, а вообще ничего у него не читал. И не потому что сноб или не люблю, а просто так получилось - все собираюсь, собираюсь, а не получается. Что у него там считается самым козырным, надо как-нибудь просветиться.

Коллективная и индивидуиальная ответственность через призму ядерных терактов

Я, знаете ли, любитель мысленных экспериментов - они позволяют многое прояснить, но иногда многое и запутывают.

Так вот, думал я давеча об ответственности. Ответственности за поступки. Вот современное толкование такое, что посторонние лица не могут ответствены за поступки и преступления конкретного лица. То есть, если там террорист или простой уголовник, там чего-то набедокурит, то наказывать за это его семью, детей там, родителей, других родственников неправильно, недопустимо. Каждый отвечает сам за себя и нельзя схватить кого попало, и наказать как попало. Тем более нельзя как будто бы накладывать кару на нацию, расу, религию. Негуманно, неправильно, и вообще. Что интересно, а ведь раньше как раз "перекладывание" ответственности, и учинение наказаний над другими была вполне обычной практикой. Например, в Древнем Риме, если хозяина убили, то казни подвергались все рабы в доме. На Руси, кажется, стандартно, что если сборщик налогов или какой другой княжеский служивый будет убит, то на соответствующее место(деревню, городок) накладывается нехилый штраф и плюс требование выдать убийцу, в случае невыдачи штраф сильно возрастает. О кровной мести я вообще молчу. А ведь, согласитесь, предки наши устраивали жизнь по-своему, по нашим меркам антигуманно, но ведь работало!

Так вот, поймите меня правильно, мне тоже кажутся крайне подозрительными предложения брать в заложники родственников и близких террористов, и подозрительны мнения, что во всем виноват ислам как религия, и куча других вещей. Но, представим себе такую ситуацию: завтра вы просыпаетесь и узнаете, что в Нью-Йорке, Лондоне, Париже, Москве и Риме были взорваны атомные бомбы. Погибло больше миллиона человека, остальные облучены, местность заражена на десятки лет...

А теперь внимание, после подобного что нибудь изменится в ваших взглядах на ответную кровную месть по отношении к семьям, народам, религиям организаторов сего действа. Да, допустим, что ответственность за это на себя взял Бен-Ладен, то есть никто даже и не скрывается. Важный момент, я предлагаю рассмотреть ситуацию не на эмоциях, а именно как гипотетическую, в попытке ответить на вопрос: всегда ли ответственность должна быть персональной или как?

Update:
Резюмируя: вопрос простой - есть ли действия, поступки, совершение которых ставит вне закона не только личность поступок совершившую, но также и более широкую общность, к которой принадлежит и от имени которой совершает поступки эта личность (и имеет ли значение, что эта общность может даже осуждать и отвергать данную личность и его поступки).