March 20th, 2003

Matematika i vybory

В начале 90-х годов в журнале Квант была опубликована интересная статья про различные способы определения
победителя на выборах. Там приводилось несколько красивых парадоксов, которые, я думаю, неизвестны широкой публике. Самой статьи в Интернете я не нашел, поэтому попытаюсь изложить своими словами.

Рассмотрим стандартную проблему политического выбора, когда "избиратели" должны сделать выбор между несколькими "кандидатами".

Каждый "избиратель" имеет свой профиль предпочтения. Другими словами, он может поставить "кандидатов" в том порядке в каком он их хочет видеть на данном посту.

После того как каждый избиратель построил свои предпочтения, необходимо решить, кто из кандидатов в результате победил на выборах, или получить некую равнодействующую.

Рассмотрим конкретные случаи.

Предположим что мы имеем 17 "избирателей" (я беру 17, потому как такое количество было в статье) и 3 кандидата. Обозначим их A,B,C.

Теперь представим следуюшую ситуацию: кандидаты A и B "либералы", кандидат C - "коммунист". И представим, что мы имеем следуюшие профили предпочтения:

Всего среди "избирателей" 10 либералов, и 7 "коммунистов".
Причем 6 либералов имеют профиль:

(1)A (2)B (3)C

Другими словами они бы предпочли увидеть в качестве президента сначала A, потом B, и лишь последним C. Все довольно логично.

Оставшиеся 4 либерала хотят несколько другого:

(1)B (2)A (3)C

То есть они также ставят C на третье место, но хотят видеть президентом B, а не A

Наконец 7 "коммунистов" естественно хотят видеть C президентом:

(1)C (2)B (3)A


Таким образом мы имеем что

A полуцил 6 первых мест, 4 вторых, и 7 третьих (скажем A ультралиберал);

B получил 4 первых, 13 вторых, 0 третих (B просто либерал)

C получил 7 первых, 0 вторых, 10 третих (C, напомню, коммунист)


Предположим мы проводим голосование по сыстеме "Относительного большинства" - то есть победителем считается тот, кто получил наибольшее число голосов в первом туре.

В этом случае, как мы видим, побеждает "коммунист" C, поскольку у него 7 первых голосов, против 6 и 4 у конкурентов.

В результате несмотря на то, что большинство избирателей являются либералами - президентом (или депутатом) становится коммунист.

Почему так произошло - причина на поверхности: либералы "распылили" свои силы. За примерами из жизни ходить далеко не надо. Мне к примеру вспомнилась победа в Южнои Корее в 1987 году, когда победил генерал, лишь потому что его два основных конкурента-демократа передрались между собой.

Но заметьте, что можно задать вопрос" почему два либерала не смогли договорится между собой. Можно в каждом конкретном случае говорить об личных амбициях и тому подобное, но меня интересует чисто математическая подоплека.

Рассмотрим наш случай, для примера: представим, что кандидат B взял самоотвод (это выглядит логичным, поскольку у него меньше первых голосов, чем у A).
Тогда те 4 голоса переходят к A, и он выигрывает у C со счетом 10-7. Демократия торжествует!

Но постойте, скажет B, а если A возьмет самоотвод, то B также легко выигрывает у C, получая его 6 голосов, со счетом 10-7.

Но ведь у A больше голосов в первом туре, скажете вы, почему тогда B не должен поступится принципами ради обшей победы?

Все вроде верно, но представим, что по решению суда C в самый последний момент снимают с выборов, за то что он незадекларировал свой носовой платок. Теперь вспомним что A - ультралиберал и для избирателей C наиболее противен. Таким образом все 7 избирателей C отдают свои голоса за B, только чтобы не допустить противного A к власти, и тогда получается, что B выигрывает выборы у A с разгромным счетом 11-6. (Теперь мы понимаем что C был снят вовсе не случайно - у B была длинная лапа в избирательной комиссии).

Резюмируя: мы предложили профиль, в котором по принципу относительного большинства выигрывает C,

но если кандидат C отказывается от борьбы (или его снимают), то тогда выигрывает B,

если кандидат B не учавствует, то тогда выигрывает A

если нет кандидата C, то тогда, выигрывает снова B.

Другими словами - вовсе необязательно подтасовывать бюллетени - при одних и тех же предпочтениях избирателей при разных ситуациях победителем может оказаться любой из трех!
Еше раз подчеркнем ситуацию: при системе "относительного большинства" победителем оказывается C, но A и B не могут договорится между собой, поскольку имеют вполне приличные шансы сами по себе.

Таким образом остается только признать, что система "относительного большинства" плоха, и на практике мы должны использовать другую сыстему. Например со вторым туром, когда двое лучших проходят во второй тур. Это называется принцип "абсолютного большинства".

Посмотрим что произойдет в этом случае: по итогам первого тура во второй проходят A и C, и во втором A выигрывает. В этом случае президентом становится либерал, что соответствует общему настроению. Но теперь посмотрим на дело глазами C - он знает, что при этой системе он все равно проиграет, а для него лично предпочтительнее умеренный либерал B, чем ультраправый A, в этом случае если C снимает свою кандидатуру - и тогда как мы уже видели, B выигрывает у A с разгромным счетом.

Заметим интересную деталь: при системе абсолютного большинства со вторым туром - B полный "лузер", он даже не проходит во второй тур. Но в личных дуэлях он выигрывает у обоих A и C, то есть в некотором роде явлается наиболее компромиссной фигурой для всех.

В цифрах:
дуэль B и A 11-6,
дуэль B и C 10-7
дуэль A и C 10-7

B выигрывает обе "дуэли" и является так называемым победителем по Кондорсе(Condorce).

Подводя итоги:

если мы применяем "относительное большинство", то президент C

если "абсолютное большинство", тогда президент A

если же "Кондорсе" (что кажется в данном случае наиболее разумным), то B

Плюс мы имеем несколько красивых моментов, когда один кандидат, зная что он проиграет, может подложить "свинью" своему конкуренту, просто отказываясь от выборов и приводя тем самым конкурента к поражению.


Вот такие вот пироги, а вы говорите "демократия"!

Prodolzhenie sleduet

Matematika i vybory 2

Продолжаем

разговор

Напомню, что я рассматривал различные системы выбора "избирателями" "кандидатов" и привел пример, когда в зависимости от системы выбора победитель меняется при одном и том же волеизъявлении.

Именно: пусть 17 избирателей голосуют за 3 кандидатов, обозначим их A,B,C.

6 избирателей ("ультралибералы") имеют профиль предпочтений:

(1)A (2)B (3)C

4 избирателя ("умеренные либералы") голосуют:

(1)B (2)A (3)C

7 избирателей ("коммунисты") отдают голоса:

(1)C (2)B (3)A


Тогда при системе "относительного большинства" победитель C

При втором туре ("абсолютное большинство") победитель A

Но если посмотреть на самую компромиссную фигуру, то это B:

Результаты дуэлей между:
B и A 11-6
B и C 10-7
A и C 10-7

В результате мы видим, что по "дуэлям", и согласно здравому смыслу, победителем следует считать B поскольку он выиграл у обоих своих соперников.

Таким образом следует признать, что имеет смысл определять победителя по дуэльному правилу, то есть когда кандидат выигрывает все "дуэли".

Но всегда ли мы имеем кандидата, которыи выигрывает все дуэли?

Представим себе следующую ситуацию, когда на выборах депутата ГосДумы конкурирует местный "олигарх" C, и двое заезжих московских товарища A и B, каждый из которых привез свою пиар-команду.

После ожесточенной борьбы со сливом компромата и раздачей бутылок водки, мы приходим к следующему профилю:

6 избирателей

(1)A (2)B (3)C

6 избирателей

(1)B (2)C (3)A

3 избирателя

(1)C (2)A (3)B

2 избирателя

(1)C (2)B (3)A


Таким образом, большинство избирателей (12) поддались столичной агитации и намерены проголосовать за "варягов". Причем 6 из них ставят местного "папу" C в самый конец, но другим 6-ти по каким-то причинам не понравился кандидат A , и они его недолюбливают, и ставят последним.

Оставшиеся 5 избиратели голосуют за C, но далее разделяются во взглядах.

Подведем итоги:

A получил
6 первых, 3 вторых и 8 третих

B соответственно
6 первых, 8 вторых и 3 третих

C значится
5 первых, 6 вторых и 6 третих

Далее посмотрим за ситуацией:

Если мы имеем два тура выборов, то во второй тур выходят "варяги" A и B, и во втором туре с минимальным счетом 9:8 выигрывает A.

Но кандидат C, тоже не дурак - он объясняет ситуацию B, дает ему немного бабла, и тот, зная что все равно проиграет A, снимает свою кандидатуру.

Что получается тогда во втором туре: сокруительная победа C над A 11:6!

Но предположим, что на этапе, когда C и B договариваются втихаря об этои комбинации, федеральный центр, который видит, что во втором туре победит кандидат A, а не B, а им по каким-то причинам более симпатичен B. И по жалобе избирателя Васи Пупкина суд снимает A с выборов, и во второй тур проходят B и C.

Что тогда: смотрим за профилями... побеждает B 12:5!

Резюмируя результаты дуэлей:

A и B 9:8
B и C 12:5
C и A 11:6

Замкнутый круг - лиса, кусающая свой хвост!

Обратите внимание, что победы B над C, и C над A сокрушительны. Таким образом, с житейской точки зрения вроде B "должен" был бы победить A, но он ему проигрывает!

В любом случае победителя по Condorce (все дуэли) здесь нет! И те парадоксы со снятием или отказом кандидатов, которые в первом случае оказались разъяснимыми, в этом случае являются неустранимыми!

Эти два примера наглядно показывают что "разумной" избирательной системы попросту не существует. И причина чисто математическая!

Вот такие вот нелегкие отношения между математикой и демократией.