Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: Характеризация поверхностей с помошью BVP для PDE

Как правильно применять PDE к геометрии? Я последнее время думаю над такой схемой: вот есть у нас вложенная замкнутая гиперповерхность. Зададим на ней, как на границе, некоторую BVP(boundary value problem) для некоторого эллиптического оператора. Общая теория дает существование и единственность решения. Замечательно: изменим граничные условия (скажем, с Дирихле на Нейманна). Решим новую задачу, в каких случаях решения будут совпадать? Зависит от поверхности! Таким образом, можно выделить класс поверхностей, на которых две или больше BVP будут иметь идентичные решения.


Пример: возьмем единичный шар B(0,1)со сферой S(0,1), как границей. И рассмотрим функцию u(x)=1-|x|^2. Данная функция удовлетворяет уравнению Laplace(u)=-2n, и равна нулю на границе. Таким образом, она является единственным решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона Laplace(v)=-2n in B(0,1), v=0 on S(0,1). Но заметим, что одновременно нормальная производная на границе S(0,1) равна -2, и соответствующая краевая задача Laplace(v)=-2n in B(0,1), dv/dn=-2 on S(0,1) имеет точно такое же решение.

Спрашивается, определяет ли однозначно эта пара краевых задач единичный шар, и если нет, то можно ли расширить систему граничных задач, так, чтобы только шар был бы областью, где решения нескольких краевых задач совпадали бы.
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 6 comments