Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: 1. Перельман 2. Теорема Сарда

Вчера читал краткий обзор по работе Перельмана в Notices of AMS, 2004, 2. Уяснил оттуда несколько вещей.

Во-первых, он, похоже, доказал таки классификацию Терстона, и сейчас речь идет о проверке технических деталей доказательства.

По существу же, что сделал Перельман - он модифицировал поток Риччи так, что он стал градиентным потоком некоторого функционала на пространстве римановых метрик. Обычный поток Риччи (Ricci flow) не является градиентным. Градиентность позвлолила доказать формулы монотонности ("monotonicity formula"), и исследовать сингулярности (дать их полную классификацию).

Насчет последнего: грубо говоря, поток Риччи существует только для конечного промежутка времени, после чего формируется сингулярность. Так вот, используя "parabolic blow-up" можно посмотреть как сингулярность выглядит "под микроскопом". Оказалось, что существует лишь конечное количество картинок, которые в точности соответствуют геометрической классификации Терстона.

А именно, когда поток подходит к сингулярности, он формирует вполне конкретный геометрический кусок, который можно "выкинуть" ("surgery"), и сингулярность исчезнет, и поток будет продолжать существовать до следующей сингулярности. Перельман классифицировал все сингулярности, и определил тип выкидываемого многообразия для каждой из них. После конечного числа операций, мы имеем декомпозицию многообразия на элементарные куски, что и доказывает классификацию Терстона, а попутно и гипотезу Пуанкаре.

Какие остаются вопросы. А именно, надо проверять технические детали для каждого конкретного типа сингулярности. Что ведущие эксперты сейчас и делают.

P.S. Я не эксперт, и даже не читал исходных работ Перельмана, мысли выше - это, так скажем, заметки для себя, в попытке разобраться в вопросе.

Ссылки:

Сайт, посвященный обсуждению работ Перельмана


http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html


Три оригинальных препринта Перельмана на Архиве


http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159


http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109


http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245


Работа Терстона


http://www.msri.org/publications/books/gt3m/


Обзор по общей относительности (классификация псевдоримановых многообразий)

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9911032



2. Случайно наткнулся на работу малоизвестного математика об обобщении размерности Хаусдорфа, имея ввиду получить необходимо-достаточную Теорему Сарда о мере множества сингулярных значений гладкого отображения. Определение очень естественно: попросту размерностью множества называем инфимум обратного показателя гельдеровости функции, таких, что множество находится в образе фунцкии. Определение имеет смысл для множеств размерности больше единицы. Доказывается, что Хаусдорфова размерность всегда меньше; если множества диффеоморфны, то размерности у них совпадают; для гладких многообразий размерность ожидаемая и равна евклидовой размерности; и самое главное, что есть аналог обратной теоремы Сарда.

Впрочем, доказательства не смотрел, но метод кажется естественным и интересным. А теорема Сарда в моем списке находится под статусом "permanent refinement and refreshment" - о ней аналитик должен знать все, и даже больше.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments