Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: hypercyclic operators

Вчера наткнулся на одну статью, которая мне напомнила две совершенно замечательные теоремы, которые, я уверен, практически неизвестны широкой публике.


А именно: рассмотрим пространство целых функций одного комплексного переменного H(C) (целая фунцкия, это аналитическая на всей плоскости функция, она представима всюду сходящимся степенным рядом).

Так вот, возьмем некоторую целую функцию f(z),тогда f(z+1) также будет целой, как и f(z+2),... f(z+N) для любого целого N. Так вот, замечательная теорема Биркхофа (Birkhoff) утверждает, что существует фунцкия f(z) такая, что последовательность {f(z+n)} всюду плотна в H(C). Последнее означает следующее: для любой целой фунцкии g(z) и любых положительных e>0, R>0, существует N=n(e,R) такое, что

|f(z+N)-g(z)| < e , |z| < R

Неплохо, да, - любая целая фунцкия может быть сколь угодно точно аппроксимируема с помощью сдвигов одной заранее данной функции!

Другая теорема (MacLane): существует такая целая функция F(z), так что последовательность производных (D^n)F(z) всюду плотна в H(C).

Последнее означает следующее: для любой целой фунцкии g(z) и любых положительных e>0, R>0, существует N=n(e,R) такое, что

|(D^N)F(z)-g(z)| < e , |z|< R

Тоже не слабо!

Но это еще не конец истории!

Существует такая функция G(z), что, как последовательность сдвигов G(z+k), так и последовательность производных (D^k)G(z) всюду плотны!

Но и это еще не все: данные теоремы лежат в основе совершенно замечательного раздела анализа, под названием "теория гиперциклических операторов" (hypercyclic operators).

В частности, справедлива следующая теорема: Предположим мы имеем оператор T:H(C)->H(C) на пространстве целых функций H(C), перестановочный с операторами сдвига, а именно T[h(z+a)]= {T[h]}(z+a).
Тогда такой оператор является гиперциклическим, а именно существует функция H(z), такая, что {H,T(H),T^2(H),..., T^k(H),...} всюду плотна в H(C).

Вышеупомянутые теоремы Биркхофа и МакЛейна частные случаи последней теоремы (возьмем соответственно T(h)(z)=h(z+1), T(h)(z)=Dh(z)) ).

Но даже это не конец истории - можно доказать, что множество таких H(z) очень велико, а именно они составлают всюду плотное открытое(это наиболее интересно) множество в H(C).

Используя этот результат можно доказать следующий факт: пусть у нас есть счетное число операторов T_1, ... T_N,..., удовлетворяющих условиям теоремы (то есть перестановочных со сдвигами). Тогда существует функция f(z) такая, что для любого i последовательность {f, T_i(f),....} всюду плотна в H(C)!

Теория гиперциклических операторов имеет очень много других, намного более общих результатов (в частности, критерии гиперцикличности для общих пространств Фреше).
Если кому стало интересно, то советую почитать обзор K.G Grosse-Erdmann in Bull. of AMS.

Universal families and hypercyclic operators
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments