Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: математические теоремы недооценены

Любопытная вещь. Вот есть всем известные и полезные теоремы. Например: принцип сжимающих отображений, теорема Брауера о неподвижной точке в шаре, существование и единственность решения краевых задач для эллиптических PDE, теорема Коши-Ковалевской о суцшествование аналитического решения произвольного PDE, аппроксимационная теорема Стоуна-Вейерштрасса, уравнения Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении, представления Рисса функционалов с помощью мер, критерий компактности Асколи-Арцела, и... еще многое можно назвать - мой личный список все время пополняется.


Все вышеперечисленные теоремы очень известны, и даже знамениты. Любой математик знаком с этими теоремами, и они крайне активно применяются в доказательствах новых результатов. Хотя, положа руку на сердце, доказательство скольких из них вы сможете воспроизвести с листа? Наверное, принцип сжимающих отображений, вывод уравнений Эйлера-Лагранжа, и быть может Асколи-Арцела...

Ну, последнее не суть важно. Важным же, на мой взгляд, является следующее наблюдение: все эти теоремы реально недооценены. Другими словами, с помощью них можно напрямую доказать значительно большее число новых фактов или дать красивые и короткие доказательства многих других теорем и результатов. Собственно говоря, я регулярно встречаю новые изящные доказательства известных фактов, где суть попросту в умном применении одной из вышеперечисленных фундаментальных теорем.

Вот к примеру, сегодня на Римановой геометрии узнал замечательное аналитическое доказательство теоремы Александрова о том, что вложенная компактная гиперповерхность S евклидова пространства постоянной средней кривизны есть обычная сфера. В доказательстве изпользовалось неравенство Reilly и существование решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона: Laplace(u)=-1 in V, u=0 on S, whrere S is the boundary of enclosed domain V. Так вот, теорема существования для уравенния Пуассона дает решение этой краевой задачи, а условие, что S имеет постоянную средную кривизну, влечет за собой, что и нормальная производная решения du/dn, на границе V равна константе - из этих двух условий забесплатно получается, что V должен быть шаром.

Посмотрим на этот пример поподробнее. Вообще, вот нам известно(из общей теории PDE), что
Laplace(U)=F in V, U=g on S, whrere S is the boundary of enclosed domain V имеет решение для очень широкого класса S,V и функций g,F. В некотором смысле, варьируя {(S,g),(F,V)} мы пробегаем почти по всем возможным фунцкиям из C^2{R^n}. Другими словами, я лично ожидаю и надеюсь собственоручно найти, как этот результат может быть применен для доказательства других геометрических теорем о гиперповерхностях. Основа этой надежды, что теорема существования фантастически обща, но эта общность часто ускользает от внимания публики.

Другой мой любимый пример: принцип сжимающих отображений. Он формулируется так: for any contraction A:M->M where (M,d) is a complete metric space( A is a contraction mean, that d(Ax,Ay)<=qd(x,y), where 0<q<1) there exists a unique fixed point z, s.t. Az=z. Эта теорема также обладает жуткой общностью. Смотрите сами: неподвижные точки оператора A на множестве M - это алгебраическое свойство пары (A,M). И мы имеем свободу подобрать такую метрику d на M, чтобы A стал сжимающим в этой метрике. Более того, мы можем заменить M на ЛЮБОЕ замкнутое инвариантное(относительно A) его подмножество. Таким образом, мы имеем свободу в выборе и метрики и подмножества. Несмотря на то, что принцип сжимающих отображений используется в хвост и в гриву с момента своего открытия, тем не менее, я считаю, что он недооценен - практически никто не работает на изменении метрики и множества. Хотя пример с использованием нестандартной метрики есть в доказательстве теоремы Пеано из ODE, там правильная метрика зависит от параметра k, в которой результат тривиален, метрика ||f-g||_k= sup |exp[-k*t]{f(t)-g(t)}|. Более того, продвинутый читатель, знает такое обобщение принципа сжимающих отображений: если некоторая степень оператора A (A^p) является сжатием, то A имеет единственную неподвижную точку. Так вот, немногие знают, что если степень A^p явлается сжатием, то можно ввести новую метрику на M так, что A относительно новой метрики будет сжатием. В одной книжке по теории неподвижных точек авторы задали полушутливый вопрос о том, что если известно, что оператор A имеет неподвижные точки на M, то всегда ли можно найти подмножество M и метрику на нем, так, что A, ограниченный на это подмножество, удовлетворяет принципу сжимающих отображений. Ответ - Да! Просто возьмем данную неподвижную точку в качестве подмножества! И таких примеров я могу привести для каждой из перечисленных мною теорем. Я, наверное, еще буду писать и не раз на эту тему. А сейчас еще раз повторюсь: математические теоремы недооценены. Сами авторы, зачастую, плохо представляют потенциальную силу и применимость своих теорем. Потому очень важно анализировать теоремы дальше, чтобы сделать их силу очевидным.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments