Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: Singular Value Decomposition

Раз уже дело зашло о линейной алгебре, то пришла на ум одна поразительная, но, на мой взгляд, не очень известная теорема.


Конкретно, предположим у нас есть два линейных вещественных евклидовых пространства (V,g1,n) и (W,g2,m) соответственно размерности n и m и скалярными произведениями g1 и g2. И предположим у нас есть линейное отображение A:V->W.

Тогда существует ортонормированный (w.r.t g1) базис {e[1],...e[n]} в V, и ортонормированный (w.r.t g2) базис{f[1],..., f[m]} в W, так что

A(e[i])=l[i]f[i],

где l[i]>=0 так называемые сингулярные числа оператора A, которые определяются следующим образом:

A : V->W
A*: W->V - сопряженый оператор.

Тогда оператор (A*)A:V->V является положительным самосопряженным и имеет n-неотрицательных собственных значений m[1],...,m[n]. Так вот l[i]=Sqrt{m[i]}, просто квадратный корень.

Если перевести на язык матриц, то если мы фиксируем базисы в V и W, тогда оператор A представим в виде прямоугольной (m,n) матрицы с m строками и n столбцами.

Тогда утверждается, что существует две ортогональных матрицы O1(m,m) и O2(n,n), так что
(O1)(A)(O2)=diag{l[1],...,l[n]}, где правая часть понимается как (m,n) матрица у которой в i-той строке i-том столбце стоит l[i], а все остальные элементы равны нулю.

Чем замечатльно вышеупомянутое разложение(Singular Value Decomposition). Во-первых, оно работает для ЛЮБОЙ матрицы A, во-вторых, мы остаемся в рамках действительных чисел (жорданово разложение требует перехода к компплексным), в третьих дает "диагональную" форму (жордан этого не дает!).

Тем не менее, несмотря на реальную замечательность этой теоремы - она, как правило, не излагается в стандартных курсах линейной алгебры, но вот в чем штука, всякий, кто хочет делать более или менее толковый анализ на подмногобразиях евклидова пространства приходят к необходимости ее применять. Вот и мой черед пришел, хотя узнал я ее не сегодня, а на третьем курсе, в доказательстве того, что квазиконформное отобржение меняет модуль семейства кривых в конечное число раз.

Мое личное ощущение: это самый сильный результат линейной алгебры, во всяком случае, из мне известных. В моем конкретном интересе A=df, где f:M->N отображение между многообразиями, df - его дифференциал.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments