Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Category:

Математическое: многочлены и матрицы(теорема Люка-Гаусса)

Помнится на первом курсе на лекциях по линейной алгебре, я узнал, что любая симметрическая(комплексно-сопряженная) матрица A=A* всегда имеет n действительных собственных значений l[1],..,l[n]. Более того, существует такая невырожденная матрица Q, что QAQ^{-1}=diag{l[1],..,l[n]}.

А что такое собственное значение? А это корень характеристического многочлена p(z,A). Заметим интересную деталь: упомянутое выше приведение к диагональной форме с помощью матрицы Q дает(в теории) способ посчитать корни многочлена.

Так вот, я тогда спросил себя - а почему нельзя использовать эту технику наоборот, а именно: пытаться получить инфомацию о корнях многочлена p(z) с помощью матрицы A, которая имеет p(z) своим характеристическим.

На том пути вспоминаем более продвинутую теорему, которая утверждает, что матрица A приводима к диагональному виду если и только если она нормальна, что означает A(A*)=(A*)A. Таким образом, любой многочлен p(z) является характеристическим многочленом некоторой нормальной матрицы A. Теперь вместо изучения корней многочлена p(z) мы непосредственно изучаем матрицу A.

Такие были мысли много лет назад. Не помню, чтобы я что-то серьезное получил на этой дороге, но метод мне казался очень перспективным.

Люблю, когда детские мысли находят подтверждения.

В частности вот в этой статье:

http://front.math.ucdavis.edu/math.CV/0304158


Там в числе многих рассматривается теорема Люка-Гаусса, которая утверждает, что все корни производной p'(z) лежат в выпуклой оболочке корней p(z). Результат сам по себе интересен, и автор получает интересные обобщения этой теоремы.

Более конкретно, если мы обозначим корни p(z) как l[1],..,l[n],а корни производной как m[1],...,m[n-1]. Тогда утверждение, что m[i] лежит в выпуклой оболочке означает, что m[i] есть положительная выпуклая комбинация m[i]=A[i][1]*l[1] +...+A[i][n]*l[n], где A[i][j]>=0, A[i][1]+...+A[i][n]=1

Если ввести дополнительную m[n]=(l[1]+...+l[n])/n, то тогда

m=S*l, где m={m[1],...,m[n]}, l={l[1],..,l[n]}, а S матрица S[i][j]=A[i][j], для 1<=i<=n-1, S[n][j]=1/n.
Причем, сумма всех элементов в каждой строке S равна 1.

Так вот если мы сможем уточнить возможные свойства S, мы получим геометрическое соотношение между корням произвольного многочлена и его производной. В статье доказывается, что матрица S может быть выбрана так, что сумма и по всем столбцам будет равна единице.

Попутно там доказывается, что для любого многочелна p(z) можно найти нормальную матрицу A, такую, что A имеет p(z) своим характеристическим, и более того если удалить последную строку и столбец, то характеристический многочлен для этой урезанной матрицы A_{n-1} будет совпадать с p'(z).

Доказательства базируются на рассмотрении специальных порядков - весьма продвинутая линейная алгебра, которая почти бесплатно дает нетривиальнейшие результаты для корней произвольных полиномов. Глубокий респект. Это, на мой взгляд, очень хороший пример, как должен мыслить и работать аналитик.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments