Zametki na polyah (akor168) wrote,
Zametki na polyah
akor168

Математическое: Полином как разность двух положительных

Запостил в ru_math, но решил скопировать и у себя.

Мне что-то вспомнилась одна фишка, подсмотренная в свое время в одном из олимпиадных сборников.

Задача была такая. Дан произвольный полином P(x). Доказать, что его можно представить как разность двух положительных полиномов. То есть P(x)= R(x)- Q(x), где R(x)>0, Q(x)>0.

Под катом решение:

Решение до смешного просто: u= u^2+u+1 - (u^2+1)=f(u)-g(u), где f(u)=u^2+u+1 >=3/4, g(u)=u^2+1 >=1.

Теперь подставим вместо u = P(x) и задача решена.

Заметим, что этот метод работает для любой подалгебры алгебры действительнозначных функций C(X;R) на некотором множестве(топологическом/метрическом пространстве) X.

Интересно, можно ли из этого простого факта/доказательства получить какие-нибудь интересные следствия (о тех же полиномах)?

Можно задать также следующий вопрос: описать все полиномы f(u), так что оба f(u)>0, и g(u)=f(u)-u > 0. Так сказать, получить всевозможные обобщения этого трюка.

Если же вернуться к изначальной задаче о полиномах, то можно заметить, что если deg P(x)=n, тогда в предъявленном разложении deg R(x)= deg Q(x)=2n. Можно ли уменьшить степень R и Q?

Вопросы довольно праздные - так, вспомнилось на досуге, но если есть мысли, пишите комменты.
Tags: math
Subscribe

  • 3-0 vs 42-0

    To put the magnitude of the U.S. defeat in context, losing 3-0 in soccer is the equivalent of losing 42-0 in football. Реально улыбнуло, поскольку…

  • Анекдоты: полная потеря смысла при пересказе

    Знаете, когда обсуждается сложность перевода с одного языка на другой, обычно рассказывается пример с круглым столом где каждый знает языки двух…

  • полезность регулярных проф-заметок

    Терри Тао пишет аж в 2013 году(в комментах) про полезность ведения ЖЖ собственного блога, в котором можно записывать прочитанные результаты,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments