Математическое.

Понадобилось действительное число А на интервале (0,1), наиболее плохо приближаемое рациональными в том смысле, что если для фиксированного N взять отрезок [k/N,(k+1)/N] в который оно попадает, то мне нужно, чтобы оно было как можно дальше от концов, то есть где-то в серединке. Однако, смутно вспоминается теория подходящих дробей, что для знаменателя Q, подходящей цепной дроби, |A-P/Q| < 1/Q^2, то есть равномерного отжатия от концов вида |A-k/N| > c/N и |А-(k+1)/N| > c/N для некоторого независимого от N числа c, не получишь. Однако, если мы исключим знаменатели подходящих дробей для А, можно ли выбрать А, что оценка вышеуказанного вида справедлива.

Математическое.

Возникла такая тема. У меня генерируется последовательность многочленов P(n,q) от параметра q. Коэффициенты многочленов есть функции u(x,t) в некотором пространстве X. Выбор пространства X широк, потому как функции хорошие (бесконечно дифференцируемы и все такое). Так вот, есть гипотеза, что если решение моей проблемы существует (что я и хочу доказать), то при значениях параметра q близкого к 1, нормы функции P(n,q)(x,t), представимые этими многочленами, в данном пространстве должны убывать по геометрической прогрессии a^n, где 0 < a < 1. Если же решения нет, то тогда наоборот, нормы многочленов должны расти как b^n, где b > 1.

Вопрос собственно в том, каким образом к таким проблемам можно подступиться. Параметр q вещь довольно искусственная, однако по аналогии со скалярным примером (X=C), свойство убывания, если оно справедливо, должно быть выполнено для всех q, достаточно близким к единице, и потому я рассматриваю именно полиномы от q.

Собственно, эти полиномы сами коэффициенты степенного ряда F(y)=Sum(P(n,q)y^n). И в "хорошем" случае у этого ряда по гипотезе должен быть радиус сходимости(in y) строго больше единицы, а в "плохом", строго меньше.

Вопрос, какими методами можно получить эти оценки. Мне на ум приходит лишь представление полинома по интегралу Коши, и искать контур вокруг q_0, на котором значение нормы полинома мало. Но, опять таки, даже для этого нужна какая-то интуиция, при каких комплексных значениях q полином P(q) из моего кольца X[q] будет иметь малые значения в норме X.

Update:
Гмм, а метод интегральной формулы Коши должен быть довольно мощный, ведь хитрость в том, что в интеграле Коши после выбора замкнутого контура можно прибавить произвольную голоморфную функцию f(z), и таким образом надо оценивать на контуре не p(z) а p(z)+(z-q)f(z). Где-то это техника должна быть изложена в совершенстве, ибо она слишком очевидна. Но вот где конкретно.

Кто о чем, а я о неподвижных точках.
( Read more... )

Я вот как-то совсем недавно стал сильно удивляться множеству рациональных чисел и тем парадоксальным отношениям, которые известны между лебеговой мерой и топологической категорией.
( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math

Такие мысли.

Теория ОДЕ на пространстве ограниченных операторов. Более конкретно, по двум банаховым пространствам X,Y мы рассмотрим банахово простанство Z=L(X,Y) линейных ограниченных операторов из X в Y. И вот на этом Z мы возьмем "хорошую" функцию f:Z - > Z, и рассмотрим ODE вида:

G'(t)=f(G(t)), G(0)=A

"Хорошесть" правой части понимается в том, что это ODE имеет решение локальное (или глобальное), по общим теоремам(скажем f липшицева).

Таким макаром получаем гладкие пути G(t) в пространстве операторов. Теперь можно задавать естественные вопросы вида: пусть мы фиксируем некороторый класс правых частей f(.). Какие свойства начального оператора А будут сохраняться при движение по решению. Например: сюръективность, инъективность, фредгольмовость, компактность. В общем, куча возможных схем.

Технические результаты такого рода, на мой взгляд, были бы весьма полезны в PDE.

Update:
Да, существенно то, что пространство операторов неоднородно по любому интересному свойству. Потому скажем простейшая правая часть f(G)=B, и решение G=tB+A - трудно будет сказать что-то определенное, базируясь только на свойствах A и B (например инъективность и сюрьективность). Штука в том, как найти "правильный" путь по "правильной" правой части, который деформирует A в B с сохранением интересного свойства.

Математическое.

Задумался над таким вопросом. Есть ли теорема Брауера о неподвижной точке непрерывного самоотображении шара, в топологиях отличных от стандартной. Штука в том, что свойство отображения иметь неподвижные точки есть совершенно алгебраическая вещь, которая однако может следовать из топологии. Но само по себе решение F(x)=x никак не связано со структурами на нашем множестве, где действует отображение F.
( Read more... )

Прочитал, понравилось концептуально. Конкретно, как проста может быть выражена функция F:H-->R в окрестности своей критической точки. Речь идет о замене координат, гомеоморфизме.
( Read more... )

Математическое.

Максима: любую имеющую смысл и нужную вам функцию (оператор) можно построить, применяя теорему о неявной функции F(x,f(x))=0 и теорему о существовании решения ОДЕ Z'=G(Z) на каком-то интервале. Имеются ввиду, конечно же, версии для Банаховых пространств. Если же построить таким способом не удается, то, значит, и нет такой в природе.

Френдам-математикам.

Я как-то по ссылке от cheltsov узнал, что в свободном доступе имеются электронные копии многих известных журналов. Список ниже.

Geometric and functional analysis
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D179211

Journal für die reine und angewandte Mathematik
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D238618

Inventiones Mathematicae
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D166620

Manuscripta mathematica
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D217598

Mathematische Zeitschrift
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D8487

Mathematische Annalen
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D25917

Проблема в том, что к настоящему времени работает лишь ссылка на Math Annalen и о счастье, мне как раз и нужны были две статьи оттуда. Но что же с остальными журналами.
Update:Fixed. Надо кликать на вторую ссылку, и уже там собственно выход на оглавление.

Список, кажется, находится тут
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/

Но вот как из него выведать нужные и работающие на данный момент. Только перебором, а мне лень.

Кажется, это правильные ссылки, но что-то подкручено, и выйти на них с внешних линков нельзя.

http://gdzdoc.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/ssearch

Я тут размышляю на тему компактности в функциональных пространствах и возникают любопытные вопросы.
( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Наткнулся на интересный признак разрешимости линейных уравнений в общих Банаховых пространствах.
( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Давно я что-то не писал ничего на математические темы. А разгадка проста: долблюсь об стену со своей темой, мало что получается, потому времени и энтиузиазма обозревать всякие мелочи нет...

Но тем не менее. Насчет интеграла Лебега. ( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Любопытный результат, который на мой взгляд должен входить в учебники, однако я узнал о нем случайно.
( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Оказывается, легендарная статья Лере по уравнениям Навье Стокса все-таки переведена на английский. Будем почитать, однозначно.

An English translation of Sur le Mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, by Jean Leray

http://www.math.cornell.edu/~bterrell/english.ps



http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Вероятность на бесконечномерных пространствах. Совершенно не в курсе как с этим обстоят дела. Слышал краем уха про броуновское движение и меру Винера, но именно что слышал, что есть такое.

Тем не менее, такой праздный вопрос: если мы выберем случайным образом два многочлена от двух переменных (комплескных или действительных). ( Read more... )

http://www.livejournal.com/users/akor168/tag/math
Math: akor168 entries

Практика показывает, что записывание даже сумбурных мыслей в ЖЖ довольно полезно, через год читаешь и вспоминаешь, что тебя заботило в прошлом.( Read more... )

В попытке обобщить так называемый method of continuity на потенциально нелинейные операторы размышляю над следующим.( Read more... )

Не могу не поделиться случайно обнаруженной конструкцией, которая, ма мой взгляд, должна быть исключительна полезна при коротких доказательствах всяких относительно простых, но интересных фактов.( Read more... )

А все-таки между мерой и топологической категорией какое-то мистическое отсутствие связи.( Read more... )

Интересно, я всегда подозревал, что когда вспоминают рабпты Софуса Ли как обоснование, а затем переходят к изложению групп Ли, то что-то тут не так.( Read more... )