Zametki na polyah ([info]akor168) wrote,
@ 2004-03-26 19:04:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Entry tags:math

Математическое: солянка
1. На этой неделе прочитал обзор математических работ Фреда Альмгрена, написанный одним из его учеников (Brian White). Очень понравилось изложение: без всяких формул и заморочек кратко и понятно рассказано об основных результатах Альмгрена в геометрической теории меры. Попутно выяснилось пара любопытных штрихов. Во-первых, Альмгрен поступил в апсиратуру на математику, не имея математического бакалавра(только инженерного), и после трех лет работы военным летчиком. Хорошо все-таки, что в американскую аспирантуру можно попасть даже не имея формального бакграунда, но будучи яркой личностью. Также хорошая иллюстрация к тому, что талант такого уровня, это все-таки от бога (от генов) - один из лучших математиков 20 века до 25 лет математикой и не интересовался. Мне всегда было любопытно, а сколько таких Альмгренов пропускается современной системой образования, и их таланты оказываются утраченными навсегда?


Еще одна забавная история связана с так называемым манускриптом Альмгрена о регулярности, который составляет 1700 страниц, и который был прочитан полностью лишь считанным числом людей. Там доказывается невероятно общий результат о структуре множества особенностей минимизирующих решений эллиптических функционалов. Уайту, как ученику Альмгрена, пришлось этот манускрипт читать - не повезло, бедняге :-)).

Кстати, автор данного обзора, кажется, обалдает талантом доносить информацию до читателй. Как я уже отметил, что я не будучи экспертом в области, понял абсолютно все. Вообще, геометрическая теория меры рулит. Плохо, что изучить ее можно лишь в считанных местах. Стенфорд - одно из них, но меня туда не взяли :-(((.

Кстати, Альмгрен в 1992 году написал разгромную рецензию на книжку Фоменко(известного широкой публике своими историческими приблудами), буквально уничтожив его во всех смыслах. Фоменко, кажется, после этого бросил это направление( многомерная задача Плато). Рецензия доступна в Интернете:

http://www.ams.org/bull/pre-1996-data/199226-1/almgren.pdf

2. В среду был на докладе Л.С.Эванса, выяснилось что он не только хороший математик, но и очень приличный лектор. Аудитории, последнее было, по-видимому, хорошо известно, потому людей набилось под завязку, и даже пришлось приносить лишние стулья. Надо учесть на будущее, если судьба занесет в Беркли, и Эванс будет читать курс по PDE, то обязательно посещать.

3. Я тут недавно интересовался, где можно почитать по топологии с как можно более аналитической точки зрения. Лектор по симплектической геометрии посоветовал книжку R.Bott, L.W.Tu "Differential forms in algebraic topology". Внимательно еще не смотрел, но поверхностный просмотр показывает, что это кажется именно то, "о чем мечтают тигры".


(Post a new comment)

...Альмгрен написал разгромную рецензию на книжку Фоме
(Anonymous)
2004-03-26 06:12 pm UTC (link)
http://udonet.donpac.ru/bibl/FOMENKOAT/izwestia.html
...
С.П.Новиков пишет: "появился разгромный отзыв известного
американского математика Альмгрена в "Bulletin of AMS" на книгу
Фоменко по многомерному вариационному исчислению, указавший грубые
ошибки...". Такая характеристика отзыва Альмгрена не соответствует
действительности.

В рецензии Альмгрена подробно и доброжелательно излагается
содержание книги Фоменко, но в конце выражается недовольство, что в
краткой рекламе НА ЕЕ ОБЛОЖКЕ, при описании главных результатов
книги, допущена вольность языка, когда вместо "спектр многообразий с
краем" сказано просто "многообразия с краем". Но нам неизвестно,
чтобы кто-либо заявлял о том, что в какой-бы то ни было теореме
Фоменко имеются ошибки. В том числе и Альмгрен.

В заключение, возможно, стоит отметить, что Альмгрен начинает свою
рецензию словами: "Анатолий Фоменко - самый выдающийся математик в
Советском Союзе, работающий в теории многомерных минимальных
поверхностей".

(Reply to this) (Thread)
Re: ...Альмгрен написал разгромную рецензию на книжку Фо
[info]akor168
2004-03-26 06:33 pm UTC (link)
Хе-хе.

Если в рецензии на книгу или статью есть прямые указания на ошибки в теоремах и откровенное недоумение, да еще и рецензия написана западным математиком, которые склонны к политкорректности...

Пара цитат:

The reviewer has known Fomenko personally for more than two decades and still is at a loss to understand why he is not more responsible in his mathematical claims. The following are two particular examples of concern.

"...Fomenko made a similar claim in a lecture at and in the proceedings of the 1974 International Congress in Vancouver, in the introduction to a major paper (in Russian), and in an interview published in the Mathematical Intelligencer. His preface in the volume under review is ambiguous about this issue. In any case, the claim is not proved, as he acknowledges privately. It is not known at present whether or not minimal surfaces of the type he studies are necessarily representable as continuous images of manifolds or even as continuous images of sets of nite topological complexity."


"...In fact, Thi did not prove such a theorem in papers known to the reviewer since he did not establish a common Lipschitz constant to his sequence of mappings. Both the reviewer and others have pointed this out to Fomenko in person. Yet he again makes his claim!"

(Reply to this) (Parent)
Re: ...Альмгрен написал разгромную рецензию на книжку Фо
[info]akor168
2004-03-26 06:37 pm UTC (link)
А Фоменко хороший математик, но дело в том, что Альмгрен уровнем повыше будет, потому ему и веры больше. Альмгрен попросту указал, что ему надоели утверждения Фоменко о том, что он решил задачу Плато, несмотря на то, что это не так.

(Reply to this) (Parent)
природа отдыхает
[info]aadamchuk
2004-03-26 07:02 pm UTC (link)
Покойника Алмгрена не знал, но вот с сынком его пересекался. Сынок - мудак, так что генетика и природа тут просто отдыхает, несмотря на стандартный набор атрибутов - Princeton, Harvard, Chicago. Правда там есть еще и дочка-математик, говорят способная, не знаю, не видел.

(Reply to this) (Thread)
Re: природа отдыхает
[info]akor168
2004-03-26 07:06 pm UTC (link)
Дочка, кажется, сейчас в Стэнфорде учится.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: природа отдыхает
[info]aadamchuk
2004-03-26 08:22 pm UTC (link)
может уже и внучка

(Reply to this) (Parent)

[info]sowa
2004-03-26 08:04 pm UTC (link)
Расскажите как-нибудь, пожалуйста, про ваши впечатления от Ботта-Ту, после более близкого знакомства.

(Reply to this) (Thread)
кто такой Ботта-Ту
[info]aadamchuk
2004-03-26 08:24 pm UTC (link)
кто такой Ботта-Ту, почему не знаю?

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: кто такой Ботта-Ту
[info]sowa
2004-03-26 09:39 pm UTC (link)
В посте упомянута книжка R. Bott, L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Она когда-то была и на русский переведена.

(Reply to this) (Parent)

[info]akor168
2004-03-27 12:23 pm UTC (link)
Что касается первого впечатления( о нулевом я уже упомянул). То вкратце - очень хорошее. Прочитал введение и главу по универсальному расслоению. Что нравится: прежде чем ввести понятие, говорится пару слов о том зачем это нужно, и чего мы хотим достичь - резкий контраст с другими учебниками - где что вижу, о том и пою. Потом авторы действительно старются адпатировать изложение к человеку с минимальным бэкграундом, причем не на словах, а на деле. И конечно же - аналитический подход. То же употребление алгебры к месту и по делу, а не потому, что правая нога захотела.

Очень хороший лист обозначений в конце книги, индекс тоже неплох. Доказательства старются уместить в треть страницы, если не получается, то разбивают на леммы. Куча примеров, причем действительно элементарных. В общем я эту книгу буду изучать очень подробно.

Из того что понравилось из введения: индуктивное постоение групп гомотопий(то, что гомотопные отображения составляют линейносвязную компоненту я знал, но тем не менее), и короткий аутлайн, как обобщить это дело на когомологии. Когомологии, как классы кусочно-постоянных функций на кривых - очень нравится такой подход. Замечание - какие ограничения у когомологий, упоминание разложения пространства на простые компоненты(группа гомотопий которых нетривиальна лишь в одной размерности). Люблю такие подходы. И все объясняется на пальцах, что особо радует. Еще запомнилось понятие хорошего разбиения (все возможные пересечения диффеоморфны евклидову пространству). И также приложение этих разбиений к оценки на размерность универсального расслоения.

Как я уже сказал: впечатление очень хорошее, почти восторженное, и я буду внимательно изучать эту книгу вкупе с той, которую вы мне посоветовали ранее(Wells).

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sowa
2004-03-28 01:59 pm UTC (link)
Хорошо. Я почему спросил - мне кажется, эта книжка на самом деле гораздо более алгебраическая, чем можно подумать с первого взгляда. Вопрос - компенсируется ли это мастерством изложения.

Есть еще более элементраные книжки Singer, Thorpe, Lecture notes on elementary topology and geometry и Pollack, Guillemin, Differential topology - может, вас заинтересуют.

Еще я хотел бы задать вам такой вопрос: насколько естественным и мотивированным вам представляется понятия внешних форм и дифференциальных форм? Обычно под аналитическим подходом к топологии понимают подход основанный на дифференциальных формах, как у Ботта-Ту. Однако в основе этого понятия лежит нетривиальная алгебраическая идея, геометрический смысл которой объясняется либо после того, как теория построена, либо не объясняется совсем. Ее ядро - это просто формула

xy=-yx .

Как вы с этой формулой уживаетесь? Мне это все действительно очень интересно, и я надеюсь, что вы найдете время для развернутого ответа, но и короткий будет тоже интересен.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]akor168
2004-03-28 02:48 pm UTC (link)
Насчет форм, я если честно, только начинаю в них разбираться. Изложение этих вопросов в стандартных тесктах - просто ужасно, причем как в плане мотивации внешнего произведения векторных пространтв, так и на уровне введения форм через жуткие определения (якобы аналитические).

Тогда как правильный подход, по моему мнению, очень прост - это попросту функции на k-мерных подмнообразиях(на k-мерных множествах), обычные действительные функции на неком огромном пространстве. Между прочим, геометрическая теория меры, это, в свою очередь, еще один шаг в этом направлении: "currents" - это попросту сопряженное пространство к компактным дифференциальным формам. То есть, по сути, второе сопряженное. И данный подход сразу позволил доказать теоремы компактности и вывести существование решений. Доказательство же их регулярности тоже оказалось вполне посильным делом, хотя почему наблюдается этот эффект (офигенная гладкость решений, априори не являющихся даже обычными поверхностями) мне лично неясно.

А вот насчет алгебраической идеи xy=-yx("антикоммутативность") в основе - я слышу об этом в первый раз. Нельзя ли поподробнее? В книжках этого точно не объясняется.

Кстати, прочитал еще пару глав из книжки Ботт/Ту. Подтверждаю - это именно то, что я искал - доказательство теоремы Стокса в одну страницу, причем у меня нет абсолютно никаких вопросов - для меня это полноценное доказательство - не добавить, не прибавить.

Насчет алгебраичности. Тут сложно сказать - я в последние несколько лет сильно поправил свои знания в этой области. Во всяком случае теория модулей над кольцами мне кажется почти идеальным языком описания и получания нетривиальных результатов. Потом алгебра алгебре рознь - когда она выскакивает естественно, то это только приветствуется. И опять-таки "аналитический" - это не означает "координатный". Структура гладкого многообразия полностью кодируется в алгебре гладких функций. Значит и все результаты теории многообразий можно получить даже не трогая геометрию с топологией. Да и в алгебраической геометрии можно сколько угодно долго надувать щеки, а в конце-концов задачи сводятся к тому, как изучить некое вполне конкретное фактор-кольцо полиномов.

Вообще, если говорить наиболее обще, что я понимаю под аналитическим подходом, то ответ очень прост: все должно объясняться через обычные числовые функции, причем, по-возможности, вещественнозначные. Области определения могут быть сколь угодно большой сложности, но в конечном итоге информация об объекте получается путем рассмотрения поведения совокупности числовых фунцкий.

А если еще пару слов о книге, то во-первых, совершенно мастерское изложение, а во вторых, я повторюсь - она более аналитична чем книга Wells, я уже молчу про книги, написанные топологами - у них другой вид мышления, то что они считают доказательствами, я считаю издевательством. Но самое любопытное, что и обратное верно.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sowa
2004-03-29 01:31 am UTC (link)
Спасибо, очень интересно.

Внешние (дифференциальные) формы удовлетворяют закону косокоммутативности ab=-ba (может, мне следовало написать dx dy = -dy dx) либо как следствие их запутанного определения как альтернированных полилинейных форм и использования альтернирующего умножения, либо просто по определению. Косокоммутативность лежит и в основе теоремы Стокса (к которой Стокс имеет очень слабое отношение, как обычно).

Мне интересно, возникают ли какие-нибудь трудности в связи с немотивированностью этого закона, или, может, какая-то мотивировка очевидна настолько, что о ней и не стоит говорить.

Как функции на множестве всех к-мерных подмногообразиях формы определяет У. Рудин в "Основах математического анализа". Он, кстати, не у вас там обитает? Но очень немногие функции соответствуют дифференциальным формам, и, чтобы указать какие именно, обычное определение там протащено с черного хода.

Если формы поняты и идея обобщенной функции известна, объяснить потоки де Рама просто. Меня все-таки интересуют формы. Вот вы говорите, что прочитали доказательство теоремы Стокса. Многомерное? Тогда вы уже должны знать формы.

Я тут не пытаюсь обратить вас из аналитической веры в какую-либо другую, мне всерьез интересен этот "педагогический" вопрос.

"Структура гладкого многообразия полностью кодируется в алгебре гладких функций. Значит и все результаты теории многообразий можно получить даже не трогая геометрию с топологией." - чисто теоретически, да. Практически - удается только очень маленький фрагмент. Проблема в том, чтобы (как и выше с дифференциальными формами) описать во внутренних терминах класс колец, соответствуюших многообразиям. Некоммутативная геометрия Конна - это то, что удалось перевести на язык колец независимо от их происхождения из многообразий (и затем отбросить предположение о коммутативности этих колец). Вы видели определение аналога дифференциальных форм в теории Конна?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]akor168
2004-03-29 05:05 pm UTC (link)
Что касается мотивации введения внешних форм на векторных пространствах, то вопрос крайне интересный - я как-то про него не думал. На самом деле понятие внешней формы довольно мистическое, и не скажу, что я его понимаю до конца. А антикоммутативность вылазит именно оттуда. На данный момент мое видение ситуации такое: дано n-мерное векторное пространство V. Зададим естественный вопрос - а какие еще пространства мы можем получить, имея V в качестве блока. На ум приходят три операции: сопряженное пространство линейных функционалов V*, прямое произведение(сумма) (V,V), и тензорное произведение (V tensor V). Если мы выбрали и фиксировали базис в пространтве V, то симметрическая группа перестановок (S_n) действует на базис, значит на V, а также на все те пространства, которые мы получили из V, и в частности на V teznor V tensor...tensor V. Пространства внешних форм в этом случае естественно появляются как некоторые неприводимые подпространства.

Собственно говоря, я и завел речь о линейной алгебре в последних двух постах, потому как чувствую, что мои знания в ней требуют рамификации. Вообще из студенческого курса я вынес весьма вредное наплевательское отношение к линейной алгебре, как к чему-то малоинтересному и скучному. Попытки протащить в себя эти полилинейные формы этому только способствовали - ну не интересно же!. Также мне буквально до недавнего времени было непонятно зачем изучать линейные группы - там же все просто - линейная структура, конечное число параметров...

Насчет же определения собственно дифференциальных форм. Я Рудина внимательно не читал, так смотрел как-то мельком, и главы про формы пропустил. Хотя, сейчас, конечно же, посмотрю, потому как вопрос, чем дифференциальные формы выделяются в пространстве функционалов на к-мерных пространствах для меня очень естественен и интересен(характеристические свойства).

Про некоммутативную геометрию Конна первый раз слышу от вас, но это неудивительно - мне с коммутативной бы разобраться :-)). Тем не менее обязательно буду иметь ввиду.

Насчет же перспективности изучения алгебры гладких функций, то я оптимист. Впрочем, это тоже неудивительно, поскольку в моей российской альма-матере люди особых знаний в топологии и геометрии не имели, но использовали аналитические техники для получения геометрических результатов. Например, по теории Ходжа, всякая когомология представима гармонической (на компактном многообразии). Таким образом, если имеем оценку на размерность пространства гармонических форм, то знаем и когомологии. Так вот, с первым вопросом вполне возможно работать аналитически, "забыв" на время о геометрии. На этом пути можно получить оценки на размерность пространства гармонических функций на некомпактном многообразии(кстати, поправьте меня, но у меня сложилось впечатление, что алгебро-топологические методы весьма плохо работают для некомпактных многообразий). Про формы ничего не скажу, кажется, там результатов не так много.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sowa
2004-03-30 04:41 pm UTC (link)
Можно, конечно, мотивировать внешние формы и так, как вы предлагаете: посмотрим, что вообще бывает, и будем изучать. Но это никак не объясняет их универсальной полезности, появления в теореме Стокса, теории дифференциальных форм и когомологий де Рама, и т.д.

"алгебро-топологические методы весьма плохо работают для некомпактных многообразий" - это зависит от вопросов, которые вас интересуют. Если вы ставите вопрос, аналитический по своей природе (скажем, вы хотите найти функции или формы с определенными условиями роста на бесконечности), то, естественно, нужны аналитические методы. С другой стороны, в значительной степени алгебро-топологическая теория пространств Штейна имеет дело с самого начала с некомпактными многообразиями.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]akor168
2004-03-30 05:03 pm UTC (link)
Кстати, что касается разговора о SVD. Там главная формулировка не в терминах матриц, а в терминах существования двух ортонормированных базисов, так что образ одного из них (по действию оперетора A) диагонален во втором. Из этого автоматически следует тот факт, что при переходе к тензорным(вмнешним) произведениям индуцированный оператор также выражается через сингулярные числа, что для аналитических вопросов (например вычисление определителя или операторной нормы) просто подарок.

(Reply to this) (Parent)

[info]dmitri_pavlov
2008-01-20 06:45 pm UTC (link)
Я не знаю, насколько актуален для вас этот вопрос четырёхлетней давности, но градуированная коммутативность
дифференциальных форм имеет очень простое интуитивное объяснение.
Вкратце: геометрически элемент k-ой внешней степени
векторного пространства есть формальная сумма
площадок (k-мерных подпростанств с мерой).
Площадки соответствуют разложимым элементам.
Точнее, площадкой называется k-мерное векторное подпространство,
в котором задана мера, в нашем случае мы можем считать, что это
просто класс эквивилентности базисов относительно действия
специальной линейной группы.
Теперь умножение во внешней алгебре приобретает очевидный
геометрический смысл. В силу аддитивности достаточно
рассмотреть случай двух площадок.
Если они пересекаются по ненулевому вектору,
то их произведение равно нулю.
Иначе надо взять прямую сумму этих векторных подпространств.
Это и будет новая площадка. Чтобы задать
на ней меру, возьмём в качестве базиса соединение
базисов первого и второго пространства (в этом порядке).
Теперь градуированная коммутативность вытекает
в силу того, что перестановка k и l элементов нечётна
в том и только в том случае, когда k и l нечётны.

Здесь, конечно, есть некий порочный круг:
рассмотрение k-ой внешней степени сводится к старшей
внешней степени (класс эквивалентности базисов
как раз и является элементом старшей внешней степени).
Однако у последней есть независимый смысл:
элемент старшей внешней степени — это просто
инвариантная мера.

Подробнее примерно о том же здесь:
http://community.livejournal.com/ru_math/557875.html?thread=4909875#t4909875

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sowa
2008-01-21 12:33 am UTC (link)
Мне это по-прежнему интересно. Правда, за прошедшее время я пришел к мысли, что никакой реальной мотивировки на самом деле нет.

Порочный круг в вашем подходе вы отметили сами: вы сводите косокоммутативность к понятию signed volume, которое этой косокомамтивности is morally equivalent.

На самом деле, реальной мотивировкой я готов считать только ту, которая исторически привела к открытию результа или понятия. Скажем, попытки Гоуэрса мотивировать вывод формулы Кардано с помощью комплексных корней из единицы - чистое жульничество и невежество, поскольку комплексные числа и возникли-то из попыток разобраться со странностями формулы Кардано.

Внешнюю алгебру придумал Грассман, и не так давно был выпущен английский перевод его главного сочинения на эту тему. Там нет никакой мотивировки сверх идеи посмотреть, что получиться, если постулировать косокоммутативность. Впрочем, связь с signed volume он знал, и, возможно (нечто подобное писал Дьедонне), он исходил из желания сделать объем линейным. Это перемещает немотивированность в другое место.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]dmitri_pavlov
2008-01-25 03:03 am UTC (link)
>Порочный круг в вашем подходе вы отметили сами: вы сводите косокоммутативность к понятию signed volume, которое этой косокомамтивности is morally equivalent.

Здесь нет никакого порочного круга, как я сам указал дальше.
Понятие ориентированного объёма не мотивируется
через косокоммутативность. Наоборот, косокоммутативность
вытекает из линейности ориентированного объёма.

На множестве n-ок векторов определены две функции:
ориентация и обычный объём. Важность и мотивированность
этих функций не вызывает сомнения. Эти функции
нелинейные, а с нелинейными функциями неудобно работать.
Однако произведение этих функций уже будет линейной
функцией. При этом две исходные функции однозначно
восстанавливаются из этой функции при помощи знака и модуля.

Вот так мотивируется ориентированный объём.
Косокоммутативность, как я уже отмечал, сразу следует
из линейности. Так что никакой немотивированности здесь нет.
Из чего исходил Грассман мы не знаем, но скорее всего
из чего-то похожего. Видимо, Дьёдонне был прав.

>Скажем, попытки Гоуэрса мотивировать вывод формулы Кардано с помощью комплексных корней из единицы - чистое жульничество и невежество, поскольку комплексные числа и возникли-то из попыток разобраться со странностями формулы Кардано.

Как-то вы очень легко бросаетесь обвинениями в невежестве.
Вы что, серьёзно считаете, что Гауерс не знает, откуда
возникли комплексные числа?

Как раз мотивировать сегодня комплексные числа при помощи
Кардано и есть чистое жульничество и невежество, поскольку
формула, выражающие корни кубического уравнения
с помощью радикалов никому не нужна. В самой математике
она не нужна по очевидным причинам, а для вычислений
эффективнее другие методы. То есть этим путём важнейший,
мотивированный объект сводится к совершенно немотивированной
задаче.

У комплексных (и вещественных) чисел имеются две прекрасные (для
сегодняшнего состояния математики) мотивировки:
топологическая (вещественные и комплексные числа — единственные связные локально компактные топологические поля)
и арифметическая (вещественные и комплексные числа —
единственные пополнения числовых полей по архимедовым нормированиям).

Можно также считать, что для формулы Кардано изобрели не комплексные, а алгебраические числа.
У них тоже есть прекрасная мотивировка:
поле алгебраических чисел является алгебраическим замыканием
поля рациональных чисел.

Наконец, можни считать, что для формулы Кардано изобрели
расширения полей. У них тоже есть прекрасная мотивировка:
общая идеология теории категорий говорит
нам, что вместе каждым набором объектов надо рассматривать
их морфизмы. Для полей это расширения. Сторонники
более конкретной точки зрения могут считать, что
раширения нужны для того, чтобы разлагать данный
многочлен на линейные множители.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sowa
2008-01-25 06:13 am UTC (link)
Честно говоря, вы становитесь неинтересным собеседником. Просто неинтересным.

(Reply to this) (Parent)

Create an Account
Forgot your login?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…